第五届数学竞赛初赛试题及答案

　　一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（12分）

　　2.1991×199219921992-1992+199119911991

　　二、填空题（48分）

　　1.有A、B两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有25个数。A组数中前几个是这样排列的1，6，11，16，21……；B组数中最后几个是这样排列的……，105，110，115，120，125。那么，A、B这两组数中所有数的和是__（3分）

　　2.某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如图1。现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给图1染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色。共有__种不同的染色方法。（5分）

　　3.如图2的数阵是由77个偶数排成的，其中20、22、24、36、38、40这六个数由一个平行四边形围住，它们的和是180。把这个平行四边形沿上下、左右平移后，又围住了右边数阵中的另外六个数，如果这六个数的和是660，那么，它们当中位于平行四边形左上角的那个数是__。（4分）

　　4.在左边的乘法算式中，我、学、数、乐各代表四个不相同的数字。如果“乐”代表“9”，那么，“我”代表__，“数”代表__，“学”代表__。（4分）

　　5.1993年一月份有4个星期四、5个星期五，1993年1月4日是星期__。

　　6.一个小数去掉小数部分后得到一个整数，这个整数加上原来的小数与4的乘积，得27.6。原来这个小数是__。（5分）

　　7.李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中有一个当了记者。一次有人问起他们的职业，李志明说：“我是记者。”张斌说：“我不是记者。”王大为说：“李志明说了假话。”如果他们三人的话中只有一句是真的，那么__是记者。（3分）

　　9.在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它分别能被2、3、5、11整数，这个七位数最小是__。（5分）

的个位数字1992个“8”是__，十位数字是__，百位数字是__。（3分）

　　三、解答下面的应用题。（要写出列式解答过程。列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程。）（32分）

　　1.张师傅驾驶一辆载重汽车从县城出发到省城送货，到达省城后马上卸货并随即沿原路返回。他驾驶的这辆汽车去时每小时行64千米，返回时每小时行56千米，往返一趟共用去12小时（在省城卸货所用时间略去不计）。张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了多少千米？（5分）

　　2.一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形。求原来长方形的面积。（5分）

　　3.有两堆煤，第一堆是第二堆的4倍。当第二堆煤运走6.25吨后，第一堆煤是第二堆煤的6倍。第二堆煤原有多少吨？（5分）

分数是80分。求不及格的人的平均分数。（5分）

　　5.启蒙书社五天内卖出《中学生手册》和《小学生手册》共120本。《中学生手册》每本5元，《小学生手册》每本3.75元。营业员统计的结果表明：这五天内所卖《中学生手册》的收入比卖《小学生手册》的收入多162.5元。这五天内启蒙书社卖出的《中学生手册》和《小学生手册》各多少本？（6分）

　　6.如图3，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰DC平行，AE与BD相交于O点。已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大

　　四、长方形ABCD的长是4厘米、宽3厘米。从这个长方形中剪去两个长2厘米、宽1厘米的小长方形后得到一个“T”形（如图4）。请你沿直线（用虚线在图上画出这样的直线）把这个“T”形剪两刀，并使剪开的部分恰好能拼成一个正方形。（8分）

　　详解与说明

　　一、计算题

　　说明：本题的算式看上去挺繁，但细心观察不难发现括号内的三个乘（除）式都含有因数“3”，把“3”作为公因数提取后计算就简便多了。《数学之友》（7）第63页上有一道十分类似的计算题。

　　2.解：1991×199219921992-1992×199119911991

　　=1991×1992（100010001-100010001）

　　=1991×1992×0

　　=0

　　说明：解本题的关键是迅速观察到被减数和减数含有公因数1991×1992，这个乘积可以暂时保留在式中，看括号内的计算结果是不是便于立即能口算出答案。本题同《数学之友》（7）综合练习十的第2题也很相似。

数列的各项依次对应相加所得到的。看出这一层关系，就容易想到把式中每

”栏目内专门作了介绍。

　　二、填空题

　　1.（1＋125）×25=3150

　　说明：首先通过观察容易发现A、B两组数的排列规律。这两组数都排成等差数列，并且每组数都有25个数。用等差数列的求和公式可以算出结果，但必须先推算出A组数的第25个及B组数的第1个。如果选手们能从“两组数个数相等”与“两组数都是公差为5的等差数列”这两个条件入手，用“首尾配对，变加为乘”（见本报1991年9月25日“教你思考”栏）的技巧来解，那么计算简便多了。

　　2.解：把该沿海城市地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G（如图5）。为了便于观察，可以把图5改画成图6（相邻关系不改变）。我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860（种）不同的染色方法。

　　说明：“加法原理与乘法原理”是本报223期“奥林匹克学校”栏所介绍的内容，但应用乘法原理来解本题，要谨防遗漏。为了避免遗漏，就应适当选择染色的顺序。或许有的选手会问：既然要讲究染色的顺序。那么“按A、B、C、D、E、F的顺序”前又怎么可以加“不妨”二字呢？对了，我们这里所说的“适当选择染色顺序”，不是说染色方法与染色顺序有关，而是说选择某些染色次序很可能算错。比如说，如果我们选择B、C、G、D、A、E、F的染色顺序，那么，根据乘法原理算得的结果是

　　5×4×4×3×2×3×3=4320（种）。这当中遗漏了540（种），为什么会遗漏呢？因为在给B、C染色之后，再给G染色时，没有分“G与B同色”、“G与B不同色”两种情况。

　　举个简单的例子，如图7，如果按④③②①的顺序染色，容易误算为5×4×4×2=160（种），而实际上，应分两种情况：

　　（1）②与③同色时有5×4×1×3=60（种）染法

　　（2）②与③不同色时，有5×4×3×2=120（种）染法

　　共有60＋120=180（种）染法，而不是160种。

　　3.解法一：以平行四边形左上角那个数为标准，其余五个数分别比它大2、4、16、18、20。如果从平行四边形内六个数的和中依次减去2、4、16、18、20，那么剩下的数就是左上角那个数的6倍。根据题意，可求出平移后的平行四边形内左上角那数为[660-（2＋4＋16＋18＋20）]÷6=100

　　解法二：移动前平行四边形内6个数的和是20＋22＋24＋36＋28＋40=180。移动后，这六个数的和增加到660，增加了660-180=480。由于移动过程中平行四边形内每个数增加得一样多，因而容易求出从“180”到“660”，每个数都增加了（660-180）÷6=80。这样，可知道左上角的数增加到20＋80=100。

　　解法三：通过观察可知，平行四边形内上一行左、中、右三数与下一行

下一行右边的那个数与上一行左边那个数相减，差都是20。这样，求左上角那个数就变成了一个“和差问题”。算式为

　　（660÷3-20）÷2=100

　　说明：本题的解法很多，因为题中的数阵隐藏着许多有趣的规律，选择不同的规律，将会得到不同的解法。本题是根据1991年11月5日第一版“教你思考”栏中一题改编而成的。

　　4.解：由“乐”代表9，可推到“学”代表1，“数”代表6；由积是一个十位数，并且前两位数都是6，可推知“我”代表8。

　　说明：本题是把1992年5月25日第四版上谈祥柏先生写的“六一专稿”里一题变了一下形式。要推知“乐”、“学”、“数”各代表什么数字，只要运用所学的“自然数平方尾数性质”及进位的知识，就会立即得到结果。再推“我”代表几就稍难些。

　　需要用估值法：

　　所以8≤我≤9显然，“我”只能是8。

　　5.解：画一个日历表，从表中马上看出：

　　1993年1月4日星期一。

　　说明：根据“有五个星期五”，可知从第一个星期五到第五个星期五之间共有29天。31-29=2（天），这多余的2天是在第一个星期五前，还是在第五个星期五之后呢？如果在第一个星期五之前，那就多一个星期四，这与题中条件不符。所以应把多余的2天排在月末。这种借助日历表推算的方法，本报1992年3月25日第一版“小读者园地”栏目中介绍过。

　　7.解：张斌是记者。

　　说明：这是根据本报1992年3月15日“奥林匹克学校”栏推理问题例1改编而成的。具体推理过程是――

　　假设李志明是记者，那么李志明、张斌都说了真话，而三人中只有一人说真话。这说明假设不正确，李志明不是记者（李志明说了假话）。也就是说，王大为说了真话。另一个说假话的是张斌。从而推知：张斌是记者。

　　也就是5X＜76＜5Y

　　又因为X、Y是两个连续自然数

　　所以，必有X=15，Y=16

　　解法二：根据分数的基本性质

　　由“X、Y是连续自然数”推知X=15，Y=16。

　　说明：仅从题中的不等式不容易判断X、Y的取值范围，这就想到了通分；要通分，就要运用“分数的基本性质”。有了X、Y的取值范围，再附加“X、Y是连续自然数”这个条件的限制，X、Y的值也就不难判断了。本报207期第三版上曾登过类似的题。

　　因为2|A，5|A，所以，c=0；

　　因为3|A，所以3|（a＋b）；

　　因为11|A，所以a-b=1

　　考虑到所组成的七位数应该最小，因而取a＋b=3。这就推出：a=2，b=1。即要求的最小的七位数是1992210。

　　说明：解答本题需要熟悉能被2、5、3、11整除的数的特征，再把根据这些特征推出的结果综合在一起，加上“最小”这一条件，就可以确保答案是唯一的。这道题比本报第226期“赛前训练”的第3题还要略简单些。

　　222222=2×111111=2×111×1001

　　而1001=7×11×13

　　所以222222能被13整除。

　　因为1998=6×333，22÷13=1……9

　　所以，要求的余数是9。

　　说明：读者容易联想到：本报第240期“小读者园地”栏目介绍了“1001”的两条性质，因为222222=2×111111。运用“111111=111×1001”与“1001=7×11×13”这两个等式，可把题目转化为“求22÷13的余数是几”。有些选手分别计算2、22、222、2222，……被13除所得的余数，再从中找出周期性规律，也同样能求得余数是9，但这样做太麻烦，又费时，不可取。

　　11.解：8×1992=15936（个“1”）8×1991=15928（个“10”）8×1990

　　=15920（个“100”）

　　从上面竖式中看出：所求个位数字是6，十位数字是1，百位数字是2。

　　说明：解答本题并不难，只要注意计数单位和进位制，再做简单的乘法、加法运算就可以了。详见本报第192期“教你思考”栏谢悠南文。

　　12.解：本题答案不唯一，下面列出几种：

　　说明：解本题有两种思路――

母（如12）的任意两个约数（如3、4），然后把它们的和分别同这两个约

　　当我们把一个单位分数分解成两个单位分数后，又可以继续采用上面的方法，把其中某一个单位分数再一分为二。这样，只要重复分解，可以把一个单位分数分解成若干个单位分数之和。

　　三、应用题

张师傅往返全程，共用了12小时。于是，省城和县城之间的路程是

　　张师傅往返一趟共行了358.4×2=716.8（千米）

　　解法二：设县城与省城之间的路程为X千米。根据题意，列方程

　　2X=358.4×2=716.8（千米）

　　答：张师傅在省城和县城之间往返一趟共行了716.8千米。

　　说明：本题的解法不止这两种，比如，还可以根据张师傅往、返的速度之间的关系，把往返一趟所用的时间分成“往”、“返”两部分，当同学们下学期学过正、反比例之后，会自然而然地想到这一点。不过，还是解法一比较简便，这种解法本报第187期《巧用“包含除”》一文中专门介绍过。

　　2.解法一：画出图来，不难列出这样的算式（66-2×5）÷（5+2）=8（厘米），长方形面积为8×8+66=130（平方厘米）

　　解方程，得X=8

　　说明：解答本题，只要画一个草图，就不难找到题中的等量关系。然后用算术方法或代数方法解都很简单。本报第213期第3版有一道类似的题。

　　解法二：6.25×4÷（6-4）+6.25

　　=18.75（吨）

　　答：第二堆煤原有18.75吨。

　　说明：如果顺着题中的条件去想，那就不容易找到解题的思路，因为题中的“标准量”――第2堆煤的数量在变，4倍与6倍也就联系不上。其实，只要反过来一想，把第一堆煤作为标准量，数量关系就明朗化了。解法一的思路正是这样。

　　还可以这样想：如果从第一堆煤中运走“6.25×4”吨，那么第一堆煤就是现在第二堆煤数量的4倍；如果一点都不运走的话，那么第一堆煤就是现在第二堆煤的6倍，从而，可求出现在第二堆还有6.25×4÷（6-4）=12.5（吨），再加上6.25吨，就是第二堆煤原来的吨数。这就是解法二的算理。本题是根据本报第197期《反过来想想》一文中第二题改编的。

　　4.解法一：（70×4-80×3）÷（4-3）=40

　　或（70×4K-80×3K）÷（4K-3K）=40

　　（K为自然数）

　　解法二：设不及格的人平均成绩为X分。

　　根据题意列方程

　　解方程，得X=40

　　答：不及格的人的平均分数为40分。

　　说明：本题是本报第238期“趣题巧解”中的原题，解题思路详见报纸第241期《为什么可以设全班人数为4呢》一文。

　　5.解法一：（等量假设法）假设所卖出的《中学生手册》和《小学生手册》的本数同样多，也就是各为60本，那么，所卖的《中学生手册》比小学生手册》就要多收入（5-3.75）×60=75（元），而实际多收入162.5元，相差162.5-75=87.5（元）。这就可以求出少算的《中学生手册》的本数为（162.5-75）÷（5＋3.75）=10（本）

　　60＋10=70（本）……《中学生手册》的本数

　　60-10=50（本）……《小学生手册》的本数

　　解法二：（同一假设法）假设所卖出的120本全是《中学生手册》，那么，仿照解法一就可以先求出《小学生手册》的本数

　　（5×120-162.5）÷（5＋3.75）=50（本）

　　120-50=70（本）……《中学生手册》的本数

　　解法三：（列方程解）设《中学生手册》有X本，根据题意，列方程5X-（120-X）×3.75=162.5

　　解得 X=70

　　120-X=50（本）

　　答：这五天内共卖出《中学生手册》70本，《小学生手册》50本。

　　说明：就这道题的“条件”和“问题”来看，挺有些像“鸡兔同笼问题”。解这类题常用的方法有算术（假设）和列方程两种方法，这是选手们已经掌握的（见本报216期《插上想象的翅膀》一文）。在解法一和解法二中，实际的“多收入”与假设后的“多收入”之间有个“差”，这个差是怎么来的，不是由于每卖1本《中》比卖1本《小》要多收入“5-3.75”元，而是因为如果有一本《中》被假设（换）成《小》，那么《中》比《小》多收入的部分就减少了“5＋3.75”元。这一点千万不能搞错。

　　因为△ABE与△ABD对应于BE、AD边上的高相等，所以△ABD的面积

　　答：梯形面积是28平方米。

　　说明：解答本题的关键是进行两次转化：（1）转化面积差：把已知条件“△BOE的面积比△AOD的面积大4平方米”，转化为“△ABF的面积比△ABD的面积大4平方米”；（2）转化数量关系：把

是高相等）。具体算法还很多，但基本思路都是转化。本报第220期第一版有两篇文章中介绍过类似的转化技巧。

　　四、解：剪拼方法不唯一，这里给出两种（如图9，图10）：

　　说明：这是一道动手操作的“实验”题。不过，在动手之前，先得算一算、想一想，也就是我们常说的“手脑并用”。剪之前，可以这样想：“T”形图的面积为

　　4×3-2×1×2=8（平方厘米）

　　这就是说，我们要拼成的正方形的面积应该是8平方厘米。这个正方形的边长是多少呢？这可难了。如果我们假设这个正方形已经拼成，那么，把它的两条对角线连起来后，这个正方形就被分成了4个等腰直角三角形，其中的两个可以拼成一个面积为4（边长为2）的正方形（如图11）。从图中看出所拼成的正方形的边长应该是面积为4平方厘米的正方形的对角线的长（图11中的AB）。根据以上推算，容易想到图9、图10的两种剪拼方法。

　　所以，同学们今后碰到类似的动手操作题，应当先想想、算算，千万不能无把握地下手。不然的话，费了时间，还找不到正确解法。其实，选手们应当从本报第214期第四版《等积变形》一文中受到启发。