第六届数学竞赛决赛试题及答案

　　一、计算题（能用简便方法计算的，要用简便算法。每题4分，共12分。）

　　2. 77×13+255×999+510

　　二、填空题（1～9题每空 4分，10～12题每空 3分，共 54分。）

　　1.a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，a的整数部分是____。

　　2.1995的约数共有____。

　　3.等式“学学×好好+数学=1994”，表示两个两位数的乘积，再加上一个两位数，所得的和是1994。式中的“学、好、数”3个汉字各代表3个不同数字，其中“数”代表____。

　　4.如图1，“好、伙、伴、助、手、参、谋”这7个汉字代表1～7这7个数字。已知3条直线上的3个数相加、2个圆圈上3个数相加所得的5个和都相等。图中间的“好”代表____。

　　5.农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝（如图2）。为了防止鸡飞出，所建鸡窝高度不得低于2米。要使所建的鸡窝面积最大，BC的长应是米。

　　7.小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是____。

　　8.1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组。在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场。根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分。已知：

　　（1）这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；

　　（2）乙队总得分排在第一；

　　（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。

　　根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是____队。

　　9.一块空地上堆放了216块砖（如图3），这个砖堆有两面靠墙。现在把这个砖堆的表面涂满石灰，被涂上石灰的砖共有____块。

　　10.南方某城市的一家企业有90％的员工是股民，80％的员工是“万元户”，60％的员工是打工仔。那么，这家企业的“万元户”中至少有____％是股民；打工仔中至少有____（填一个分数）是“万元户”。

　　11.方格纸（图4）上有一只小虫，从直线 AB上的一点 O出发，沿方格纸上的横线或竖线爬行。方格纸上每小段的长为1厘米。小虫爬过若干小段后仍然在直线AB上，但不一定回到O点。如果小虫一共爬过2厘米，那么小虫的爬行路线有____种；如果小虫一共爬过3厘米，那么小虫爬行的路线有____。

　　12.自然数按一定的规律排列如下：

　　从排列规律可知，99排在第____行第____列。

　　三、应用题（第1题5分，第2～6题每题7分。共40分。）

　　1.如图5，AF=2FB，FD=2EF，直角三角形ABC的面积是36平方厘米，求平行四边形EBCD的面积。

　　2.利民商店从日杂公司买进一批蚊香，然后按希望获得的纯利润，每袋加价40％定价出售。但是，按这种定价卖出这批蚊香的90％时，夏季即将过去。为加快资金周转，商店以定价打七折的优惠价，把剩余蚊香全部卖出。这样，实际所得纯利润比希望获得的纯利润少了15％。按规定，不论按什么价钱出售，卖完这批蚊香必须上缴营业税300元（税金与买蚊香用的钱一起作为成本）。问利民商店买进这批蚊香用了多少元？

　　3.李老师从数学兴趣小组调出1名女生到英语兴趣小组后，剩下的同学

　　4.园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树。他们先沿着花坛的边每隔3米挖一坑，当挖完30个坑时，突然接到通知：改为每隔5米栽一棵树。这样，他们还要挖多少个坑才能完成任务？

　　5.一个学雷锋小组的大学生们每天到餐馆打工半小时，每人可挣3元钱。到11月11日，他们一共挣了1764元。这个小组计划到12月9日这天挣足3000元，捐给“希望工程”。因此小组必须在几天后增加一个人。问：增加的这个人应该从11月几日起每天到餐馆打工，才能到12月9日恰好挣足3000元钱？

　　6.有男女运动员各一名在一个环形跑道上练长跑，跑步时速度都不变，男运动员比女运动员跑得稍快些。如果他们从同一起跑点同时出发沿相反方向跑，那么每隔25秒钟相遇一次。现在，他们从同一起跑点同时出发沿相同方向跑，经过13分钟男运动员追上了女运动员，追上时，女运动员已经跑了多少圈？（圈数取整数）

　　四、简答题（共5分）

　　1.在555555的倍数中，有没有各位数字之和是奇数的？（3分）

　　2.如果有，请举出一个例子；如果没有，请说明理由。（2分）

　　五、作图题（共9分）

　　1.右图是一个直角梯形。请你画一条线段，把它分成两个形状相同面积相等的四边形。（请标明表示线段位置的数据及符号或写出画法）。（4分）

　　2.下面5个图形都具有两个特点：（1）由4个连在一起的同样大小的正方形组成；（2）每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边。我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”。

　　如果把某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同（比如上面图中的B与E），那么这两个俄罗斯方块只算一种。

　　除上面4种外，还有好几种俄罗斯方块，请你把这几种都画出来。（5分）

　　详解与说明

　　一、计算题

　　说明：本题由编辑部提供。据第11册课本复习题改编。

　　2.77×13+255×999+510

　　解法一：77×13+255×999+510

　　=1001+255×999+255×2

　　=1001+255×（999+2）

　　=1001×（1+255）

　　=256256

　　解法二：77×13+255×999+510

　　=1001+255×（1000-1）+510

　　=1000+1+255×1000-255+510

　　=1000×（1+255）+255+1

　　=256000+256

　　=256256

　　说明：本题由编辑部提供。据第275期第1版《接二连三的趣味》一文1001的性质设计。

　　说明：编辑部供题。见第289期“奥林匹克学校?自己练”。

　　二、填空题

　　1.解法一：a=（9-0.2）+（9-0.02）+（9-0.002）+（9-0.0002）+

　　（9-0.00002）

　　=45-0.22222

　　=44.77778

　　解法二：a＞8.8×5=44

　　a＜9×5=45

　　44＜a＜45

　　答案：44。

　　说明：编辑部供题。据第285期、第295期“小读者园地”中的问题改编。

　　2.解：1995=3×5×7×19，由乘法原理可知，1995的约数有

　　（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=16（个）

　　答案：16个。

　　说明：编辑部供题。据第298期“奥林匹克学校?教练员提示语”和第302期“奥林匹克学校?自己练（4）”改编。

　　3.解：“学学”、“好好”一定都是11的倍数，从而它们的积一定是121（=11×11）的倍数。

　　1994÷121=16…58

　　58即“数学”。

　　答案是5。

　　说明：编辑部供题。见第287期“新年趣题?数学小狗”。

　　4.解：由3条直线上3个数和相等可知：

　　1+2+3+4+5+6+7+2×好=3a

　　从而，好=1或4、或7。

　　但是由于圆圈上三个数之和也相等，所以，“28-好”一定可均分为2份（必是偶数）。因此，好=4。

　　答案是4。

　　说明：刘后一供题。见第324期第4版《七色光芒（四）》。

　　5.解：设B、C关于AD的对称点分别为B′，C′，则AB=AB′，DC=DC′，长方形BB′C′C的面积是长方形ABCD面积的2倍。只要长方形BB′C′C面积最大，长方形ABCD的面积就能最大。只有当BB′=BC时，长方形BB′C′C面积才最大，这时

　　AB=CD

　　1.2×20÷（1＋1＋2）=6（米）

　　BC=6×2=12（米）

　　答案是12。

　　说明：编辑部供题。据第308期“奥林匹克学校”例3改编。

　　由于小数点后第100位上的数字，即是“6”后面第99位上的数字，所以，由“99÷6=16……3”可知，小数点后第100位上的数字，即是循环节中左起第3个数字。

　　答案是8。

　　说明：编辑部供题。据第291期“奥林匹克学校自己练（1）”改编。

　　7.解：由于小胡和小涂都没有看错乙数，所以，乙数是1274和819的公约数。

　　1274=2×7×7×13

　　819=3×3×7×13

　　1274与819的公约数有1，7，13，91这四个。但是由“乙数是两位数”，可排除1和7；又由“小涂看错了的甲数也是两位数”，可排除91（不然的话，小涂看错了的甲数只能是一位数9）。因此，乙数必定是13。

　　根据乙数是13，可知小胡看错了的甲数是

　　1274÷13=98（8是看错的）

　　小涂看错了的甲数是

　　819÷13=63（6是看错的）

　　因此，甲数是93。

　　答案是93。

　　说明：编辑部供题。据第257期“教你思考”《抓不变量》中例题改编。

　　8.解：（1）这4个连续奇数必为1，3，5，7，如果不是，只有3，5，7，9可能，这样第一名得9分（三场全胜），第二名最多得6分（胜两场），而不是7分。矛盾。所以，乙队得7分，而且一定是“2胜1平”。或者由每场双方得分之和最多3分，最少2分，所以，4支队共比6场，6场的总分A满足。

　　12≤A≤18

　　但是当4个奇数为3、5、7、9时，A=24，不在上面的范围内，所以，4个奇数为1、3、5、7。

　　（2）由于丁队有两场踢平（已得2分），另一场必胜（得3分）。不然的话就是败，总分2分与“奇数”的条件矛盾。所以，丁队“2平1胜”，得5分。

　　（3）由于丁队一场未败，所以，败给乙队的一定是甲队与丙队。

　　（4）丙队不可能排第三（得3分）。这是因为它与乙、丁两队比的两场是“1平1败”，得1分，而把甲队打胜打平都不可能得2分。

　　所以，丙队一定排在第四。

　　答案是“丙”。

　　说明：编辑部供题。据“奥林匹克学校第24讲例4”及94世界杯足球赛小组赛成绩设计。

　　9.解：如下图，把这个砖堆分成9垛：

　　容易算出，这9垛的第1层（最上层）的砖都被涂上了石灰，这些砖共有

　　4×3×3=36（块）

　　从第二层开始，仅有A、B、C、D、E这5垛的砖被涂上石灰，而且每层块数相同，都是

　　（1+4）×2+4=14（块）

　　这个砖堆中被涂上石灰的砖共有

　　36+14×5=106（块）

　　答案是106。

　　说明：编辑部供题。据第249期“趣题巧解”设计。

　　10.解：根据题意，可假设该企业共有员工100人（也可假设为1000人，10000人……），那么，这个企业有

　　90人 是 股民

　　80人 是 “万元户”

　　60人 是 打工仔

　　也就是说，这个企业中

　　100-90=10（人）不是股民

　　100-80=20（人）不是“万元户”

　　因此，是“万元户”的80人中，最多有10人不是股民，从而他们当中至少有

　　80-10=70（人）

　　是股民，他们占全体“万元户”的

　　70÷80×100％=87.5％

　　同样道理，是打工仔的60人中，最多有20人不是“万元户”，从而，他们当中至少有

　　60-20=40（人）

　　是“万元户”。

　　说明：本题由李克正研究员提供。

　　11.解：为了方便，下面叙述中省去“上、下、左、右”4个字前面的“向”。

　　（1）小虫爬过2厘米，可有以下6种路线，分别是：

　　左，右；右，左；

　　上，下；下，上；

　　左，左，右，右。

　　（以上前4种路线均回到o点）。

　　（2）小虫爬过3厘米，可有20种路线，分别是：

　　上，左，下；上，右，下；

　　下，左，上；下，右，上；

　　上，下，左；上，下，右；

　　下，上，左；下，上，右。

　　（以上8种都是先“上”或先“下”。）

　　如果第一步为“左”或“右”，那么转化为第（1）题，各有6种路线。一共是8+6×2=20（种）

　　答案是：（1）6；（2）20。

　　说明：本题由单?教授提供。

　　12.解：表格中自然数的排列规律是：

　　这里n=10，a=1，所以，99应排在第2（=1+1）行，第10列。

　　答案是2、10。

　　说明：编辑部供题，据第290期“奥林匹克学校?自己练”改编。

　　三、应用题

　　1.解法一：连接BD。

　　由FD=2EF可知，

　　由AF=2FB可知，

　　解法二：因为AB×BC÷2=36

　　所以AB×BC=72

　　又因为 AF=2FB

　　答：平行四边形BCDE的面积是24平方厘米。

　　说明：编辑部供题。根据第305期第1版“奥林匹克学校?教练员提示语”设计。

　　2.解法一：设买进这批蚊香共用x元，那么希望获得的纯利润为“0.4x-300”元，实际上比希望的少卖的钱数为

　　x×（1-90％）×（1＋40％）×（1-70％）=0.042x（元）

　　根据题意，得

　　0.042x=（0.4x-300）×15％

　　方程两边都乘以1000，得，

　　42x=（0.4x-300）×150

　　42x=60x-45000

　　18x=45000

　　x=2500

　　解法二：设买进这批蚊香共用x元，那么希望获纯利润“0.4x-300”元，实际所得利润为（0.4x-300）×（1-15％）=0.34x-255。10％的蚊香打七折，就相当于全部蚊香打九七折卖，这样一共卖得“1.4x×0.97”元，根据题意

　　1.4x×0.97-x-300=0.34x-255

　　也就是 0.358x-300=0.34x-255

　　0.018x=45

　　 x=2500

　　答：买进这批蚊香共用2500元。

　　说明：编辑部供题。根据第328期“奥林匹克学校?例2”改编。

　　3.解法一（算术方法）：先画示意图如下：

　　用“1个大圆圈+1个小圆圈”表示女生人数，从图中容易看出，男生调走2人后，剩下的应是“4个大圆圈+4个小圆圈”，这就要拆开两个大圆圈，使其中4个搭配到4个大圆圈上，2人调走。也就是说，“2个大圆圈”代表

　　4+2=6（人）

　　1个大圆圈代表 6÷2=3（人）

　　这个兴趣小组原有学生

　　解法二：设这个兴趣小组原有女生x人，根据题意，得

　　5x+2=7×（x-1）+1

　　解方程，得 x=4

　　5x+2=22（人）

　　答：这个兴趣小组原有学生22人。

　　说明：编辑部供题。据321期“趣题巧解”改编。

　　4.解：（1）从第1个坑到第30个坑，共有多长？

　　（30-1）×3=87（米）

　　（2）改为“每5米栽一棵树”，有多少坑仍然有用？

　　87÷15=5……12

　　5+1=6（个）

　　（3）改为“每5米栽一棵树”，一共应挖多少个坑？

　　300÷5=60（个）

　　（4）还要挖多少个？

　　60-6=54（个）

　　答：还要挖54个才能完成任务。

　　说明：编辑部供题。根据第323期“奥林匹克学校?例3”改编。

　　5.解：（1）还缺多少钱？

　　3000-1764=1236（元）

　　（2）从11月2日～12月9日还有多少天？

　　30+9-12+1=28（天）

　　（3）这28天中，（原来小组中）每人可挣多少元钱？

　　3×28=84（元）

　　（4）增加的一人应挣多少元？

　　1236÷84=14（人）……60（元）

　　（5）要挣60元，增加的那一人要打工多少天？

　　60÷3=20（天）

　　30+9-20+1=20

　　答：增加的这个人应该从11月20日起去打工。

　　说明：编辑部供题。据第306期“趣题巧解”改编。

　　6.解法一：根据题意，可知

　　（1）男女运动员的速度和是（每秒）

　　（2）男女运动员的速度差是（每秒）

　　（3）女运动员的速度为（每秒）

　　（4）女运动员已经跑了

　　解法二：由于25秒内男女运动员一共跑完1圈，所以13分钟内他们一共跑了

　　1×（13×60÷25）=31.2（圈）

　　又由题意可知，13分钟内男运动员比女运动员多跑一圈。这就得到一个“和差问题”。由此容易求出女运动员已经跑了

　　（31.2-1）÷2=15.1（圈）

　　≈15（圈）

　　答：追上时女运动员已经跑了15圈。

　　说明：本题由李克正研究员提供。（见本报第289期“专家题卡”和第302期“小读者园地”）

　　四、简答题

　　（1）答：有。

　　（2）例如 6111105（=555555×11）

　　又如 556110555（=555555×1001）

　　 55556055555（=555555×100001）

　　 17222205（=555555×31）

　　说明：本题由单?教授提供。

　　五、作图题

　　1.下面是两种标注数字符号的方法，如下图：

　　（2）取斜腰中点作两个全等的小三角形

　　说明：本题由张卫国编审提供。解法二可见第304期“奥林匹克学校”例2。

　　2.还有3种，如下图：

　　说明：本题由李克正研究员提供。