27届美国数学奥林匹克竞赛

1．已知：集合{1、2、…..1998}，把其中的元素两两一组分成不同的数组{a_i，b_i}（1≤i≤999），

　　　　　　 使得对于所有i都有| a_i - b_i| 等于1或6。

求证：| a₁ ? b₁|+| a₂- b₂|+。。。+| a₉₉₉ ? b₉₉₉|的和的各位数为9。

2．已知：c₁、c₂为同心圆c₂在c₁内部，过A点做c₂的切线AC，切点为B，D是AB中点，直线AE与圆c₂交于E、F，使得线段DE、CF的垂直平分线的交点M在直线AB上。（下为参考图）

　 求：AM/MC并写出理由。

3．已知：数a₀，a₁，。。。a_n属于（0，π/2），

且tan（a₀―π/4）+ tan（a₁―π/4）+。。。+ tan（a_n―π/4）≥n―1。

　 求证：tan a₀ tan a₁ ???tan a_n≥n ^n―1。

第二部分（下午1：00-4：00）

1998年4月28

4．设想：计算机屏幕上有一个98×98的国际象棋棋盘（黑白相间），你可以按住鼠标左键拖动鼠标选定任意区域的方格，点击右键可使在你选定区域内的所有方格的颜色发生改变（黑的变白，白的变黑）。求：把棋盘所有方格变为同一种颜色所需点击鼠标的最少次数，并证明。

5．求证：存在包含n（n≥2）个整数的集合S，使（a―b）²整除ab，其中a、b∈S。

6．对于凸多边形A₁A₂。。。A_n（其中n≥5），有k（k是n的一个函数）个四边形A_iA_i+1A_i+2A_i+3

存在内切圆，试求整数k的最大值。（这里：A_n+j=A_j）