整数与数列--《导引》四年级第一讲

四年级上学期 第01讲，计算问题第03讲
整数与数列
【内容概述】
等差数列的项和运算符号按某种规律排列所得算式的速算与巧算，这里有时要改变运算顺序，有时需通过裂项来实现求和。按照给定的法则进行定义新运算。较为复杂的整数四则运算问题。
【典型问题】
2．计算：1000＋999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋108＋107－106－105＋104＋193－102－101．
＝（1000＋999－998－997）＋（996＋995－994－993）＋…＋（108＋107－106－105）＋（104＋193－102－101）
＝4＋4＋…＋4＋4＝［（1000－101）÷1＋1］÷4×4＝900

4．利用公式l×l＋2×2＋…＋n×n＝n×（n＋1）×（2×n＋1）÷6，计算：15×15＋16×16＋…＋21×21．
＝21×（21＋1）×（2×21＋1）÷6－14×（14＋1）×（2×14＋1）÷6
＝3311－1015＝2296

6．计算：3333×5555＋6×4444×2222．
＝3×1111×5×1111＋6×1111×4×2×1111＝15×1111×1111＋2×3×1111×1111×4×2
＝1111×1111（15＋48）＝1111×1111×63＝1111×1111×9×7
＝9999×7777＝（1000－1）×7777＝77770000－7777＝77762223

8．两个十位数1111111111与9999999999的乘积中有几个数字是奇数?
解1：1111111111×9999999999
＝1111111111×（10000000000－1）＝11111111110000000000－1111111111＝1111111118888888889
有10个数为奇数。
解2： 1×9 　 ＝ 9 奇数的个数为1
11×99 ＝ 1089 奇数的个数为2
111×999 ＝110889 奇数的个数为3
1111×9999 ＝11108889 奇数的个数为4
… …
11111111111×999999999＝1111111110888888889 奇数的个数为10
显然其奇数的个数为10。

10．求和：l×2＋2×3＋3×4＋…＋9×10．
解：通过这个题，学“裂项”。看：
1×2＝1×2×3÷3；2×3＝2×3×3÷3＝（2×3×4－1×2×3）÷3；
3×4＝3×4×3÷3＝（3×4×5－2×3×4）÷3……
可以发现：n×（n＋1）×3÷3＝［n×（n＋1）×（n＋2）－（n－1）×n×（n＋1）］÷3
于是原式＝（1×2×3＋2×3×4－1×2×3＋3×4×5－2×3×4＋…＋9×10×11－8×9×10）÷3
＝9×10×11÷3＝330
注意隔位抵消

12．在两个数之间写上一个?，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如： 13?5=3，6?2=0．试计算：（2000?49）?9．
解：2000÷49＝40……40；40÷9＝4……4；所以结果是4。

14．对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到100个乘积（例如23，积为2×3=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1）．问：这100个乘积之和为多少?
解：从1，2，…，9， 的乘积的数字和是45；
从11，12，…，19 的乘积的数字和是1×45；
从21，22， …，29， 的乘积的数字和是2×45，
…，
从91，92，…，99， 的数字和是9×45；
而10，20，…，90， 的数字和是45，
100的为1，故，其总和为：
（1＋1＋2＋3＋…＋9＋1）×45＋1＝47×45＋1＝2116