难题讨论 梦幻数

        难题讨论 梦幻数

   将自然数n任意插入到每一个能被n整除的自然数p中（如果p是k位数，则有k-1种插法），所得到的新数都能被n整除， 那么n称为梦幻数。 求不大于100的梦幻数。

    现献上本人看法供大家研讨。
    0也是自然数，它是梦幻数，但整除中一般不讨论0。
    我提供的不大于100的梦幻数有：1，2，3，5，6，9，10，11，15，18，20，22，30，33，45，55，60，66，90，99共20个。
    现提供几个规律：
    1，梦幻数为合数则包含的质因数，必定是2，3，5，11中的一个或几个。
    因为能被2，5整除的数的特点体现在个位，进行p-1位添加时个位始终不受影响。能被3整除的数的特点在于各位数字之和，不管这个数有多大。能被11整除的数的特征在于奇数位与偶数位的数字之差添加后一个到奇数位另一个到偶数位，之差不变。
    2，梦幻数中含有2与5的质因数个数的的差不大于1。也就是成对出现未尾为0，或者2比5多1个，如2*2*5=20，2*2*2*5*5=200，或者2比5少1个，2*5*5=50，  2*2*5*5*5=500，    站长或许发现2*2不行，便把4的所有倍数都排除掉了，但多了5就可以把2消灭成0。
    3，梦幻数是11的倍数则这个数的位数必须是偶数例如11，99，，1100，1111，9999等等而110，220，121等则不是。并且任意添偶数个0 还是梦幻数。
    4，梦幻数不是11的倍数， 则通常情况下，这个数后面添若干个0 还是梦幻数，像1，10，100，1000，2，20，200，2000，45，450，4500---------（270应除外）
       再进一步考虑100到1000之间（包括与此同时100与1000）的梦幻数，结合以上规律共有如下：100，150，200，270，300，450，500，600，900，1000十个数。仔细观察，会发现一个奇怪的现象，27不是梦幻数，可270倒是梦幻数。这是为什么呢？
          

     初步证明，270的倍数能被27整除，插入的270也能被27整除，插入后整个数末尾有0必定能被2，5整除。关键是考虑插入后新数比原数增加的数能不能被27整除当把270插入从右往左第x位与x+1位间时第x位起往右的数大小不变，第x+1位起往左的数扩大了1000 （0-------0）  比原数增加了999（ 0-------0）   倍，而999能被27整除数，综合考虑三个因素：原数，插进的数，新增加的数都能被27整除，且末尾有0，所以整个数都能被270整除。那27为什么不行呢？ 简而言之，它在插入之后，增加了插入左边数的 99（0-----0）倍 ，而99不能被27整除。