精华不得不看---奥数系列辅导之整数计数
[学法点拨 ]整数计数，也就是计算某一个或若干个自然数中数字的个数或某个数字出现多少次.它也被人们称为"页码问题".
1.如果不动脑筋找技巧，用我们手中小小的电子计算器做加法计算也非常麻烦.例如，计算9+10+11+12=？就要按11次键（想一想为什么？）像这样，计算：1+2+3+4+……+99=？一共要按多少次键？
解：解答这道题，首先必须了解数的位数与数字个数之间的关系.如1是一位数，它有1个数字，15是两位数，它有2个数字，2002是四位数，它就有4个数字……，于是可以得出结论：几位数就有几个数字.在这道题中其实就是几位数按几次键的问题.1~99这些数中，一位数有 9（1~9）个，两位数有 90（10~99）个，所以1~99这99个自然数共用 1×9+2×90= 189个.即这些数字要按187次键，我们接下来考虑运算符号（包括"="号）按了几次键，根据题中提示，可得出有几个数就有几个运算符号.即运算符号共按了99次.所以在计算1+2+3+4+……+99=？时共按了189+99=288次键.
答：共按了288次键.
1.试一试：某人闲着无事，在纸上从9一直写到309，它一共写了多少个数字？
2.自然数从 1到n，共用了942个数字，n是几？
解：此题与例1其实是同一类型的题目，只不过角度不同.因此，解答这道题应当采用"分位排除"法，首先把一位数与两位数用的数字总数去掉，那么剩下的数字个数即为三位数所用的数字个数.所以三位数共用了：942- 9 - 2×90 = 753个，每个三位数用 3个数字，那么三位数有：753÷3=251个.所以n=9+90+251=350，或者100~350是251个三位数.
答：n是350.
2.试一试：有一天，妈妈回家想考一考聪明的儿子，于是妈妈说："儿子，你说从3开始连续写到某个自然数，共写了430个数字，那么这个自然数是几？
3.在1、2、3、4、5……499、500.问数字"2"在这些数中一共出现了多少次？
解：这道题看上去不那么复杂，如2，32，42，23这些数中"2"分别出现一次；在22，232中又分别出现了二次；而在222中，它出现了三次.如果这样盲目地去找，仍然是非常困难的.
因此，解答这道题的最佳方法是把"2"在不同数位上出现的情况进行"分位"统计.
在个位上"2"出现的次数为：2、12、22、32、42、52……482、492.如果我们把这些数的个位上相同的"2"都划掉，那么就只剩下 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、……、48、49.因为0~49有50个数，这就说明在1、2、3、4、5……499、500这些数中个位上的"2"共出现50次.
在十位上"2"出现的次数为：
20、21、22、23、……29（10个）；
120、121、122、123、……、129（10个）；
220、221、222、223、……、229（10个）；
……
420、421、422、423、……、429（10个）.
在十位上"2"共出现：5×10=50（次）.
在百位上"2"出现的次数为：
200、201、202、203、……、298、299.如果把百位上的"2"都划掉，那么剩下的数为：00、01、02、03、……98、99.从0到99共有100个数，所以在百位上"2"共出现100次.
综合以上分析，得到在1~500这些数中"2"共出现50+50+100=200次.
答：在这些数中，"2"共出现200次.
在计算某一数字在有限范围内共出现多少次，按"分位计数"的方法计算比较简单.而且不容易混乱.
3.试一试：在1~608中，数字"0"共出现多少次？
4.在 1、3、5、7、……、1999、2001这个数列中，数字"5"一共出现了多少次？
解：我们仍然采用"分位计数"法来考虑，个位的"5"：5、15、25、……、1995共出现200次.
十位出现的"5"：
51、53、55、57、59；
151、153、155、157、159；
151、253、255、257、259；
……
1951、1953、1955、1957、1959.
共 20×5=100次.
百位上出现"5"的次数：
501、503、505、……、597、599；
1501、1503、1505、……、1597、1599.
共 2×50 = 100次.
所以在这些奇数中5共出现200+100+100=400次.
答：共出现400次.
4.试一试：在2、4、6、8、10、……、200、202这个数列中，"4"共出现多少次？
5.王叔叔家有一群鸽子，为了便于查看，他给每只鸽子都编了号：1、2、3、4、5、6、……有一天，他计算鸽子编号之和时发现与以往不同，是1145.经计算他知道是丢失了两只编号连续的鸽子，那么丢失的分别是哪两只？
解：此题实质是："求1到 n连续自然数列中，去掉两个连续自然数，剩余数的和是1145.求这两个自然数分别是多少？"的问题.
利用等差数列求和的方法：（首项+末项）×项数÷2=和.
根据题意有（1+n）×n÷2>1145.于是另得：（1+n）×n > 1145×2=2290，到这里我们可以理解为两个连续（n、1+n）的自然数的乘积大于2290.经试验有48×49=2352，所以n为48，于是从1~n的和为2352÷2=1176.因此去掉的两个数为15、16（1176-1145=31=15+16）.即丢失的两只鸽子的编号分别是15、16.
答：丢失的两只鸽子的编号为15、16.
5.试一试：张大爷养了几十只山羊，他把这些羊依次编上号码：1、2、3、……一天，张大爷突然发现丢失了一只羊.究竟是第几号丢失了呢？张大爷十分焦急.这时，恰好心算小能手聪聪经过这里，他让张大爷把所有的羊一只只从羊圈里放出来，小聪聪一边看着走过的每一只羊，一边飞快地算出了这些羊的编号之和为2008.小聪聪想了想，就说出了丢掉的羊是多少号.你知道吗？
6.小聪在一张纸上看到从1~n的连续自然数，他计算出其中的两个连续自然数的乘积是2970.你知道 n最小是多少吗？
解：因为2970是两个连续自然数的乘积，我们就很快想到把它分解质因数：
2970 = 2× 33×5×11
再把这六个分解出来的质因数分成两组，要使这两组的乘积符合题目中两个连续自然数，它们只能分为：
2× 33=54， 5×11=55.
所以 n最小是55.
答： n最小是55.
6.试一试：1~n连续的自然数，其中四个质数的乘积是2002，那么这些自然数的和最小是多少?
7.有一个数：1234567891011……997998999，即各个数字是顺次从1至999.第2002个数字是几？
解：我们采用"分位排除"法，一位数有9个，共用9个数字；两位数有90个，共用180个数字；剩下的就由三位数组成的了.
（2002- 9 - 2×90）÷3=604……1
由此可知，这第2002个数字恰好是从"100"始算起的第605（604+1）个三位数的百位上的那个数字.从"100"开始到"704（99+605=704）"是605个三位数.所以第2002个数字是7.
7.试一试：从"1"一直写到"2002"：12345678910……2001.第208个数字是几？
8.从 1开始连续将自然数排成一排组成一个新数：12345678910……，这个新数到第2007个数字时.所有三位数的和是多少个？
解：解答这道题时，关键是要先求出究竟有多少个三位数.根据上例可得：
（2007-9- 2×90）÷3=606
也就是说共有606个三位数.这606个三位数是100~705.下面我们就来求这606个三位数的和是多少.
（100+705）×606÷2=243915
答：所有三位数的和是243915
8.试一试：从 1开始连续将自然数排成一排组成一个新数：12345678910……，这个新数到第2001个数字时停止，排这个新数时，所有的奇数有多少个？
9.自然数的平方按从小到大排成一行：14916253649……问：第612个位置上的数字是多少？
解：解答此题时我们要考虑，自然数的平方哪些是一位数，哪些是两位数，哪些是……
平方后得一位数的有：1~3，共用数字3个；
平方后得两位数的有：4~9，共用数字6×2=12个；
平方后得三位数的有：10~31，共用数字22×3=66；
平方后得四位数的有：32~99，共用数字68×4=272；
平方后得五位数的有：100~316，共用数字217×5=1085
……
（612-3- 6×2 - 22×3 - 68×4）÷5
= 259÷5
=51……4
也就是一直到平方后得五位数的第52个数平方后,所得数的第四个数字.由以上分析我们知道，第52个平方后得五位数的数是151，因为151×151=22801所以第612个位置上的数字是"22801"中的数字"0"
答：第612个位置上的数字是0.
9.试一试：自然数的平方按从小到大排成一行：14916253649……问：第208个位置上的数字是多少？
10.甲、乙两组数都是从1开始的连续自然数，这两组数所有数共用了777个数码，且甲组数比乙组数多7个.甲组数最大的是几？
解：我们先估算一下，这两组数共用数码777个，那么每组数最大的数应该是三位数（假如每组数目都相等那每组也要约388（777÷2）个数码，一、两位数总共才用了189个数字，所以证明每组最大的数应该是三位数.）
于是我们就可以求出甲组数共用了（777+3×7）÷2=399个数码，所以甲组数最大的是169((399-9-2×90）÷3=70，9+90+70=169）
答：甲组数最大的是169.
10.试一试：甲、乙两册书的页码共用了882个数码，且甲册书比乙册书少 8页，甲册书有多少页？
[方法归纳 ]在进行整数计数问题的解答时，关键要弄清位数与数位、位数与数字个数的关系，这样才能很快地做出每一道题.
