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2004-05-30 17:22:00 下载试卷 标签:推理与证明 特长测试
过路人 推想与论证
(已解by[zxc])1.将1、2、3、4、5这五个数字作任意不重复的排列,可以组成很多五位数,在组成的所有五位数中,共有多少个质数?
(已解by[小豆120])2.N为2002位自然数,其中除0和9外,数字1、2、3、……8载N中出现的次数都是9的倍数,且N的各位数字和为N1,N1的各位数字和为N2,N2的各位数字和为N3,如此下去,则N2002的值是多少?
(已解by[小豆120])3.有三堆石子的个数分别为19、8、9,现进行如下操作:每次从三堆中的任意两堆分别取出1个石子,加到第三堆的石子中去,问能否经过若干次这样的操作,使三堆石子数均为12?
(已解by[小豆120])4.如果41名运动员所穿的运动服的号码分别是1、2、3、……41,试问:
如果这41名运动员任意站成一排,是否存在任意相邻的两位运动员的号码数之和都是质数?如果改为站成一个圆圈,情况又如何?
(已解by[小豆120])5.如果将正方形ABCD的每条边都平均分成n份,然后再将这些点连接起来,使这一大正方形被分割成n^2个小正方形,并把原正方形的顶点A、C和B、D分别染成红色和黄色,而把分割成的小正方形的其他顶点任意染成红色和黄色,那么试问恰有三个顶点是同一色的小正方形的个数是偶数还是奇数?
(已解by[小豆120]、[测试])6.现有一个边长为10的正方形方格棋盘,共有100个大小相同的小正方形组成,如果讲座上角和右下角的两个小正方形剪掉,试问能否用49个长2、宽1的长方形木片将这块剪掉两个角的棋盘完全盖住?
(已解by[小豆120])7.在有n(n>=2)个选手P1、P2、P3、……Pn参加的一次单循环赛中,没有出现平局,以Wr、Lr分别表示Pr(r=1,2,3…..n)获胜和失利的局数,证明:
W1^2+W2^2+W3^2+……+Wn^2=L1^2+L2^2+L3^2+……+Ln^2
(已解by[小豆120]、[老杨])8. 是否存在这样的三角形,它的三条高都小于1厘米,而面积大于10000平方厘米?
(已解by[测试])9.将7个面积为1的圆放在一平面上,其覆盖的总面积将等于4,试证:总有两个圆,他们的重叠部分面积不小于1/7。
(已解by[老杨])10.试证:三个边长为1的正方形一定可以覆盖一个边长为5/4的正方形。
(已解by[测试])11.晚会上共有n(n>=2)对青年男女共同跳舞,若每位男青年都未与全部女青年跳过舞,但每位女青年至少同一位男青年跳过舞。试证明:必有两位男青年b1、b2和两位女青年g1、g2,使得b1与g1跳过,b2和g2跳过,但b1与g2未跳过,b2与g1未跳过。
(已解)12.从1到100这100个自然数中,至少要取出多少个数,才能保证一定存在两个数是互质的。
(已解by[测试])13.有100个人聚会,其中每个人都认识这100人中的50人。试证明:可以从中选出4人,当这4人坐成一个圆圈时,每个人都与他所认识的人邻座。
(已解by[小豆120])14.平面上任意给定6个点,它们之中无三点共线,试证明总能找到三点,使得以这三点为顶点的三角形的内角中有不超过30度的角。
(已解by[大朋友]、[小豆120])15.将正整数1至100填入10*10的方格表中,每格填一个数,证明:至少有两个相邻的方格(有公共边的方格)的填数之差不小于6。
(已解by[老杨])16.放有小球的100个盒子从左到右排列一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每相邻的四个盒子里共有30个小球,那么最有面的盒子里有多少个小球?
(已解by[老杨]、[浦江]、[白鸽]、[测试])17.设有依次用1到2001编号的卡片,试问:能够最多选取多少张卡片,使得在选出的卡片中,任意张的编号都不等于选出卡片中另外两张卡片编号之和?
(已解by[老杨]、[测试])18.甲乙丙三校各派三名运动员参加乒乓球对抗赛,已知每人都与其他两校的4名运动员比赛,那么,能不能在每校各找出一人,它们两两之间都进行了比赛?试说明理由。
(部分已解by[老杨])19.12支球队进行主客场双循环制足球比赛(胜3分,平1分,负0分),比赛结束后按得分高低排名次,则积分榜上名次相邻的两支球队积分差距最大可达多少分?
(已解by[老杨])20.a,b,c都是大于20的自然数,它们中有一个有奇数个正约数,另两个都恰有三个正约数,a+b=c,则满足上述条件的c的最小值是多少?
(已解by[测试])21.若5个正整数的和等于它们的积,试证:这5个数中至少有2个为1。
(已解by[zxc]、[测试])22.在黑板上写有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个自然数,对其进行如下操作:擦去其中两个数,用它们的差的绝对值替换。问:能否经过若干次这样的操作,使黑板上剩下的最后一个数是0?
(已解by[佛果]、[zxc]、[测试])23.求证:任一自然数被9除的余数与其各位数字和被9除的余数相同。
(已解by[测试])24.由n位选手参加象棋比赛,计分方法是:每局比赛胜者的2分,负者的0分,平局各得1分。比赛中途的积分表上,得分最多的得了k分。证明:这时至少有一位选手比赛局数不多于k局。
(已解by[测试])25.组装甲、乙、丙三种产品,需A、B、C三种零件,每件甲需要A、B各2个,每件乙需要B、C各1个,每件丙需要2个A和1个C。现用库存的A、B、C三种零件,组装成甲、乙、丙三种产品分别为p、q、r件,结果剩余2个A、1个B,而C恰好用完。试证:无论怎样调整甲、乙、丙的件数,也不能把库存A、B、C三种零件都恰好用完。
(已解by[测试])26.平面上有40个点,其中任何2个点的距离都不小于2,现将距离等于2的每两点之间都连上一条线段,试证:这样的线段不会多于120条。
(已解by[测试])27.是否存在两个既约分数,他们的和与积都是整数,证明你的结论。
(已解by[测试])28.现有质量分别为9克和13克的砝码个若干,在天平上要称出质量为3克的物体,问至少要多少只这样的砝码才能称出?并证明你的结论。
(已解by[测试])29.要在圆环上填写一些互不相等的数,使得每个数都是它左、右相邻两数的积,试问:圆环上只能填写多少个数?为什么?
(已解by[测试])30.设a ,b ,c ,d 为四个自然数,它们的最小公倍数为a+b+c+d 。证明:此四数之乘积abcd 可被3或5整除。
31。在整个平面上有一无穷大的方格棋盘,上面摆了一些棋子,且正好摆成一个9*9的正方形。现在按下面的规则做游戏:每一个棋子可沿水平或垂直方向越过相邻的棋子,放在紧挨着这枚棋子的空格内,并把越过的这枚棋子取出来。证明:不论怎么走,棋盘上都不会最后恰剩下一枚棋子。
32。求证:任意凸五边形都可以找到三条对角线,由这三条对角线可以组成一个三角形。
33。求证:如果四个圆两辆互相外切,则必有一个圆的圆心在其他三个圆的圆心连线所确定的三角形的内部。
34。已知有6个点,每3点不共线,证明:以这些点为顶点的三角形中,一定有一个三角形的最大边是另一个三角形的最小边。
35。平面上有n个(n>=2)不全共线的点,求证:一定存在一条直线,恰好只通过这n个点中的两个点。
36。在平面上给出n个(n>=3)个点,并且所有点不在同一条直线上,求证:存在经过三个已知点的圆,使得其余任何点都不在该圆的内部。
37。用棱长分别为4、6、8的长方体积木拼成一个实心正方体,最少需要几块?
为了方便期间,我把新补充的题目再在这后面也贴一下。
21.若5个正整数的和等于它们的积,试证:这5个数中至少有2个为1。
22.在黑板上写有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个自然数,对其进行如下操作:擦去其中两个数,用它们的差的绝对值替换。问:能否经过若干次这样的操作,使黑板上剩下的最后一个数是0?
23.求证:任一自然数被9除的余数与其各位数字和被9除的余数相同。
24.由n位选手参加象棋比赛,计分方法是:每局比赛胜者的2分,负者的0分,平局各得1分。比赛中途的积分表上,得分最多的得了k分。证明:这时至少有一位选手比赛局数不多于k局。
25.组装甲、乙、丙三种产品,需A、B、C三种零件,每件甲需要A、B各2个,每件乙需要B、C各1个,每件丙需要2个A和1个C。现用库存的A、B、C三种零件,组装成甲、乙、丙三种产品分别为p、q、r件,结果剩余2个A、1个B,而C恰好用完。试证:无论怎样调整甲、乙、丙的件数,也不能把库存A、B、C三种零件都恰好用完。
26.平面上有40个点,其中任何2个点的距离都不小于2,现将距离等于2的每两点之间都连上一条线段,试证:这样的线段不会多于120条。
27.是否存在两个既约分数,他们的和与积都是整数,证明你的结论。
28.现有质量分别为9克和13克的砝码个若干,在天平上要称出质量为3克的物体,问至少要多少只这样的砝码才能称出?并证明你的结论。
29.要在圆环上填写一些互不相等的数,使得每个数都是它左、右相邻两数的积,试问:圆环上只能填写多少个数?为什么?
30.设a ,b ,c ,d 为四个自然数,它们的最小公倍数为a+b+c+d 。证明:此四数之乘积abcd 可被3或5整除。
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来源:bbs.aoshu.cn 作者:过路人