单位分数分拆(过路人,zxc,测试,老杨)

把1/28表示为两个不同的单位分数之和，共有多少种不同的表示方法? （次序不同算同一种）

1/28=1/a+1/b，ab=28(a+b)，ab-28a-28b=0，(a-28)(b-28)=28^2=(2^4)*(7^2)，显然，a, b>28；

(2^4)*(7^2)有5*3=15个不同的因数，有7个小于28，有7个大于28

不妨设a<b，则a-28<b-28；且

当a-28取遍(2^4)*(7^2)的小于28的因数时，b-28对应地取遍(2^4)*(7^2)的大于28的因数；

因此满足要求的解共7个

对小学而言，例举会简明一些。

我的方法：

对分母进行质因数分解，如N=a×b，a,b均为质数，则可以分拆成：

1/N=1/(a×b)=(1/a)×[1/(b+1)+1/b(b+1)]=(1/b)×[1/(a+1)+1/a(a+1)]=1/a(a+b)+1/b(a+b)

如N=a×b×c，a,b,c均为质数，则可以分拆成：

1/N=1/(a×b×c)=(1/ab)×[1/(c+1)+1/c(c+1)]=(1/c)×[1/(ab+1)+1/ab(ab+1)]

=(1/bc)×[1/(a+1)+1/a(a+1)]=(1/a)×[1/(bc+1)+1/bc(bc+1)]

=(1/ac)×[1/(b+1)+1/b(b+1)]=(1/b)×[1/(ac+1)+1/ac(ac+1)]

=1/ac(a+b)+1/bc(a+b)=1/ab(a+c)+1/bc(a+c)=1/ab(b+c)+1/ac(b+c)

=1/(abc+1)+1/abc(abc+1)。

（注：abc表示a×b×c，其他同理。）

把1/28表示为两个不同的单位分数之和，共有多少种不同的表示方法? （次序不同算同一种）

谈谈我的方法，好像和大家的不完全相同。

这种题目可以非常快的做出来！

28×28＝2^4×7^2

显然28^2共有（5＋1）×（2＋1）＝15个不同的约数。