整除问题[专题]数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
一、整除的定义：当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.
二、数的整除性质：(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。记作：a|b,b|a,则a=b。
(2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。记作：若a|b,b|c,则a|c。
(2) 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。
记作：若a|b,a|c,则a|(b c)。
(3) 几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。
(4) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。记作：若a|b,c|b,(a,c)=1, 则ac|b。
(5) 若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。记作：若ac|b,(a,c)=1, 则a|b,c|b。
(6) 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
(7) 若a|b,m≠0,则am|bm。
(8) 若am|bm,m≠0,则a|b。
（9）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）
三、整除特征 （1）1与0的特性：
1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.
0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.
（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
四、其他重要结论 1、能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。我们可以概括成一个性质：未n位数能被 (或 )整除的数，本身必能被 (或 )整除；反过来，末n位数不能被 (或 )整除的数，本身必不能被 (或 )整除。例如，判断19973216、91688169能否能被16整除，只需考虑未四位数能否被16整除便可?因为16 = ?，这样便可以举一反三，运用自如。
2、利用连续整数之积的性质： 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除； 任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除。这个性质可以推广到任意个整数连续之积。
五、例题解析以下例题运用了整除特征解题。例1：（1）判断47382能否被3或9整除？
（2）判断42559，7295871能否被11整除？
解：（1）4+7+3+8+2=24 3|24， 9 24
∴3|47382， 9 47382
（2）（9+5+4）?（5+2）=18?7=11 ∴11|42559
（1+8+9+7）?（7+5+2）=25?14=11 ∴11|7295871
启示：判断一个整数能否被另一个整数整除，充分考虑整除的特征，这样有利于我们去判断。
例2：求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。
分析：由于要求被9整除，可只考虑数字和，又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9的倍数。
解：一个以5为首位数的六位数5?????，要想使它最小，只可能是501234（各位数字均不相同）。
但是501234的数字和5+0+1+2+3+4=15，并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7，这时，5+0+1+2+3+7=18是9的倍数，故501237是9的倍数。
即501237是以5为首位，且是9的倍数的最小六位数。
例3：从0、1、2、4、7五个数中选出三个组成三位数，其中能被3整除的有 个。
?南京?第一届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛B卷?
三位数的数字和字和应被3整除，所以可取的三个数字分别是：
0,1,2； 0,2,4; 0,2,7; 1,4,7。
于是有：（2*2*1）*3+3*2*1=18?个?
例4：四位数7a2b能被2，3，5整除，这样的四位数有几个？分别是多少？
解：要使7a2b能同时被2，3，5整除，则b为零；又要使7a20能被3整除，a必须满足各位数字的和7+2+0+a能被3整除，又知a只能取0至9这十个数字，所以a只可取0，3，6，9。故满足条件的四位数有4个，即7020，7320，7620，7920。
启示：在做有关整除的题目时，应充分考虑一些常见整数的整除特征。
例5：有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数?例如1409?，把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是 。
?北京?第一届“迎春杯”赛?
从0、1、4、7、9中选出四个数字，使它们的和是3的倍数，这样的四位数只能由
0、1、4、7或1、4、7、9组成。
按从小到大顺序排列为
1047、1074、1407、1470、1479、1749、…
所以第五个四位数个位上应是9。
例6：在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别被3，4，5整除，且使这个数尽可能的小。
解：不妨设补上三个数字后的六位数为568abc。由于这个六位数分别被3，4，5整除，故它应满足如下三个条件：
（1） 数字和（5+6+8+a+b+c）是3的倍数；
（2） 末两位数字组成的两位数bc是4的倍数；
（3） 末位c为0或5。
由于4|bc，故c不能是5，而只能是0，且b只可能是2，4，6，8，0。
又因为3|（5+6+8+a+b+c）即3|（5+6+8+a+b+0），所以
当b=2时，3|（5+6+8+a+2）,a可为0，3，6，9
当b=4时，3|（5+6+8+a+4）a可为1，4，7
当b=6时，3|（5+6+8+a+6）,a可为2，5，8
当b=8时，3|（5+6+8+a+8），a可为0，3，6，9
当b=0时，3|（5+6+8+a+0），a可为2，5，8
要使六位数568abc尽可能小，则a应取0，b应取2，c应取0。
故被3，4，5整除的最小六位数568abc应为568020。
例7：个位数字为6，且能被3整除的五位数共有多少个？
分析：此题如果把个位数字为6且被3整除的五位数找出来实属不易，因此应想简便方法求解，由此想到被3整除的数的特征是其各数位数字之和能被3整除，因此将其转化为各位数字之和除以3的倍数有多少个。
解：设所求五位数为abcd6
∵3|abcd6 ∴3|（a+b+c+d+6）
∴3|（a+b+c+d） ∴3|
故所求的五位数只需求被3整除的四位数有多少个即可
又1～1000能被3整除的数有333个
1～10000能被3整除的数有3333个
故1000～10000能被3整除的数有3333-333=3000（个）
∴所求符合题意的数有3000个。
启示：两次运用被3整除的数的特征，先将3|abcd6转化为3|（a+b+c+d+6）,得3|（a+b+c+d），然后再将其转化为3|abcd。
例8：一个六位数，它能被9和11整除。去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是1997，那么这个六位数是 。
?第七届“祖冲之杯”数学邀请赛?
设这个六位数是a1997b，它能被9整除，
所以a+1+9+9+7+b=a+b+26，能被9整除，
从而a+b=1或10。
但a+b=1时，只能a=1、b=0，
而119970不能被11整除，所以只有a+b=10。
A1997b能被11整除，
所以(a+9+7)-(1+9+b)=0或11，即得b-a=6或a-b=5，
但a-b=5时，a、b不是整数，因此只有b-a=6，
解得a=2，b=8。
于是，这个六位数是219978。
例9：在下面的方框中各填一个数字，使六位数
11□□11
能被17和19整除，那么方中的两位数是 。?1995年小学数学奥林匹克）
17*19=323，110011/323余数为191。
若□□91被323整除，商的个位数字，必定为7。
323*7=2661，9-6=3，从而商是17，□□91=5491。
即原题方框中的两位数是53。
以下例题综合运用了整除性质和特征解题。例10：老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数，回校后发现有两个数字已看不清了。你能帮助补上这两个数字吗？（□13.7□元，□中为看不清的数字）。
分析：首先将□13.7□元化成分，这样总钱数就是□137□（整数分）。由于每本书价格相同，所以72|□137□。但72=8×9，所以8和9都应整除□137□。
解：72=8×9，□13.7□元=□137□分
∴8|□137□，9|□137□
由于8整除□137□，所以8|37□由此可知，当37□=376时才有8|376，故原数为□1376。
又由于9整除□1376，所以其数字和□+1+3+7+6，必是9的倍数。
即9|（□+17），而□只能是1到9中的某个数，所以□只能且1。
因此，原数为11376分，即113.76元。
启示：此处用到了整除的一条重要性质：如果a|b,c|b,且 a、c没有除1以外的公共约数（即a,c互质），那么bc|a,这里72=8×9，（8，9）=1，因为8|□137□，9|□137□，所以72|□137□，因此同理可得能被6整除的数要求能同时被2、3整除，因为6=2×3，（2，3）=1，能被12整除的数要求能同时被3，4整除，因为12=3×4，（3，4）=1。
例11：某个七位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三字依次是 。?1993年小学数学奥林匹克）
解：这个七位数能被2、3、4、5、6、7、8、9整除，
所以能被2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数整除。
这个最小公倍数是5*6*7*8*9=2520。
1993000/2520=790......2200
2520-2200=320
所以最后三位数依次是3、2、0。
例12：从1999到5999的自然数中有多少个数，它的数字和能被4整除？试简述理由。
[第九届“祖冲之杯”数学邀请赛]
解：显而易见，1999的数字和能被4整除，
从2000到5999有4000个自然数，在这4000个自然数中，
个位、十位和百位都有0到9十个数字可供选择，
不管如何选择，取定后，千位上的数字就能「左右大局」(如个位、十位、百位的数字和除以4余数为3，千位数字便可取5，使该数的数字和能被4整除)
事实上，千位数字可取2、3、4、5，从1999到5999的自然数中，它的数字和能被4整除有：1×10×10×10＋1＝1001(个) 。
例13：有分别写着1，2，3，…，13的卡片各两张，任意抽出两张，计算这两张卡片上的数的积，这样会得到许多不相等的积。试问：这些积中最多有多少个能被6整除？
[第四届“从小爱数学”邀请赛]
解：这些积中，6的倍数有许多不同的答案
最小的是1×6；最大的是26×6(由12和13这两张卡片上的数的积得出)
由1×6，2×6，3×6，……，26×6看来，似乎有26个绩能被6整除
但实际上，不会出现17×6，19×6，21×6，23×6，25×6这五种情形
所以，这些积中最多有(26－5)个，即21个能被6整除。
例14：试证明由同一数字组成的三位数都是37的倍数。
证明：设这三位数为aaa,
则aaa=a×100+a×10+a×1=100a+10a+a=111a
∵37|111,∴37|111a
∴37|aaa
例15：已知A是一个自然数，它是15的倍数，并且它的各个数位上的数字只有0和8两种，问A最小是几？
分析：因为15|A，而15=5×3，（5，3）=1
所以5|A，3|A
故A的末位数字只能是零，从而打开解题的缺口。
解：当A为两位数时，A只能为80，88，而5|A，所以88不合题意，又3|A，故80不合题意。
当A为三位数时，因为5|A，故A的末位是0，A只可能为880，800，而3|A，故880，800均不符合题意。
当A为四位数时，因5|A，故末位数字为0，又首位数字只能为8，则A=8ab0，因为3|A，所以3|（8+a+b）
当a,b中一个为8，一个为0时，A不能被3整除；当a,b均为8时，3|（8+a+b），故a=b=8,此时A=8880符合题意。故A=8880。
例16：已知四位数的个位与千位数字之和为10，个位数字既是偶数又是质数，百位数字与十位数字组成的两位数是个质数，又知这个四位数能被36整除，求所有满足条件的四位数中的最大者。
解：因为个位数字既是偶数又是质数，所以个位数字为2，又个位与千位数字之和为10，故千位数字为8。
故设这个四位数为8ab2,
∵36=4×9，（4，9）=1
∴4|8ab2，9|8ab2 ∴9|（8+a+b+2）即9|(10+a+b)
∴4|b2 ∴b=9,7,5,3,1
当a=9时，因9|（10+a+b） ∴b=8，不符合4|b2
当a=8时，因9|（10+a+b） ∴b=9，符合4|b2
∴这个四位数为8892。
例17：一整数a若不能被2和3整除，则a2+23必能被24整除.
证明 ∵a2+23=（a2-1）+24，只需证a2-1可以被24整除即可.
∵2 .∴a为奇数.设a=2k+1(k为整数),
则a2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1).
∵k、k+1为二个连续整数，故k（k+1）必能被2整除，
∴8|4k（k+1），即8|（a2-1）.
又∵（a-1），a，（a+1）为三个连续整数，其积必被3整除，即3|a（a-1）（a+1）=a（a2-1），
∵3 a，∴3|（a2-1）.3与8互质, ∴24|(a2-1),即a2+23能被24整除.
例18：使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少? (美国第4届数学邀请赛题)
解：n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.
若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.
例19：设a、b、c为满足不等式1＜a＜b＜c的整数，且（ab-1）（bc-1）（ca-1）能被abc整除，求所有可能数组（a，b，c）. (上海1989年高二数学竞赛)
解 ∵（ab-1）（bc-1）（ca-1）=a2b2c2-abc（a+b+c）+ab+ac+bc-1，①
∵abc|（ab-1）（bc-1）（ca-1）.
∴存在正整数k,使ab+ac+bc-1=kabc, ②
k=1/a+1/b+`/c-1/abc＜1/a+1/b+1/c＜3/a＜3/2
∴k=1.
若a≥3，此时
1=1/a+1/b+1/c-1/abc＜1/3+1/4+1/5=47/60矛盾.
已知a＞1. ∴只有a=2.
当a=2时，代入②中得2b+2c-1=bc，
即 1=2/b+2/c-1/bc<2/b+2/b=4/b
∴0＜b＜4，知b=3，从而易得c=5.
说明：在此例中通过对因数k的范围讨论，从而逐步确定a、b、c是一项重要解题技巧.
六、练习题1．要使六位数15abc6能被36整除，而且所得的商最小，那么A= ，B= ，C= 。?南京?第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛B卷
2．某种考试已举行的次数恰好是24次，共出了426道题。每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题，那么其中考25道题的有 次。?1992年小学数学奥林匹克初赛A卷)
3．一个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是 。?南京?第一届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛A卷)
4．在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。那么这三个数字的和是 。(北京?第四届“迎春杯”赛)
5．恰好被6、7、8、9整除的五位数有多少个？?第三届“华杯赛”复赛?
6．目前日期的流行记法是采用6位数字，即将公元年份的后两位数字记在最左边，中间两个数字表示月份，最末两位数字表示日份。(遇有月或日是个位数的，前面加一个0，例如1976年4月5日记为760405。)
第五届小学“祖冲之杯”的竞赛日期应记为951126，这个六位数恰好能被66整除，因此这样的日期被称为“大顺日”，即今天是大顺日。在今年内，距今天最近的一个大顺日是1995年_____月_____日。 [第五届“祖冲之杯”数学邀请赛]
7．能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_______.
8. 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？
9. 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）
10．求能被26整除的六位数□1993□。
11. （1973年加拿大数学竞赛题）把100000表示为两个整数的乘积，使其中没有一个是10的整倍数的表达式为__________.
12. (1971年加拿大数学竞赛题)证明:对一切整数n,n2+2n+12不是121的倍数.
13. (1984年韶关初二数学竞赛题)设abcd是一个四位正整数,已知三位正整数abc与246的和是一位正整数d的111倍,abc又是18的倍数.求出这个四位数abcd,并写出推理运算过程.
14. (1986年上海初中数学竞赛题)100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的最大可能值是多少?证明你的结论.
15.一个六位数能被7整除，将这个六位数的最后一个数码移到开头，则所得的六位数是否能被7整除？说明你的理由。
16．已知两个三位数abc和def及（abc+def）能被37整除，求证：六位数abcdef能被37整除。
17．设a,b,c是三个互不相等的正整数，求证：（a^3b-ab^3）,(b^3c-bc^3),(c^3a-ca^3)三个数中，至少有一个数能被10整除。
18．已知六位数N的前三位组成的数与后三位组成的数之和能被111整除，求证N能被111整除。
19．证明：3^2002+4^2002能被5整除。
20．有一个三位数，如果把这个数减去7，它就能被7整除；如果把这个数减去8，它就能被8整除；如果把这个数减去9，它就能被9整除。求这个三位数。
21．如果67、88、116被正整数n（n不等于1）除，所得余数都相等，求这个余数是多少？
22．四位同学做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数（不等于0）拿到最左边一位数字的左边，得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，他们的得数分别是：172536、568741、620708、845267，结果中哪一个可能是正确的？
23．求这样的三个不同的正整数，它们两两互质，且任意两数之和能被第三个数整除。
24．已知定理：“若三个大于3的质数a,b,c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数”。试问：上述定理中的整数n的最大可能值是多少？说明你的理由。
25．写出都是合数的17个连续自然数。
26．试说明：将和(1+1/2+1/3+1/4+…+1/40)写成一个最简分数m/n时，m一定不是5的倍数。
27．设n是自然数，试证：n(n^2-1)(n^2-5n+26)能被120整除。
28．用0~9这十个不同的数码组成能被11整除的10位数，求出这类数中的最大者和最小者。
29．若自然数n的各位数字之和为527，则n的最小值是多少？
30．已知p为大于3的质数，求证：（p^2-1）能被24整除。
31．若p和p+2都是大于3的质数，求证p+1能被6整除。
32．求证：在任意n个相异的整数中，存在若干个数，它们的和能被n整除。
33．求所有的正整数n，使得（1^n+2^n+3^n+4^n）不能被10整除。
34．若三个连续自然数中有一个是立方数，则他们的乘积能被504整除。
35．求同时满足下列条件的一组整数a,b：
（1）ab(a+b)不能被7整除；
（2）（a+b）^7-a^7-b^7能被7^7整除。
以下习题涉及高中知识1、 设32*3^n=25ab(四位数，ab为末两位数码) ，求数码a，b。
2、 证明：存在能被5^1000整除且在其中不包含数字0的数。
3、 设 m,n∈N, 且n/m=1-1/2+1/3-1/4+......-1/1326+1/1327, 试证1993|n
4、试证：在形如2^n+n^2 的数中，有无穷多个自然数n，使得100|( 2^n+n^2)
5、 所谓整数的非空集合，满足条件：若x,y ∈S，x-y ∈S，求证: S中存在一个整数d，使得S由d的所有倍数组成。
6、 试求出所有的正整数a,b,c，其中1<a<b<c，且使得(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的约数。
7、 已知正整数a与b使得ab+1整除a^2+b^2，求证：(a^2+b^2)/(ab+1) 是某一正整数的平方。
8、已知： N=13xy45z(7位数)能被792整除，试求数码x,y,z。
9、证明： 1+1/2+1/3+1/4+.....+1/n 不∈Z, (n∈Z)
10、证明：当n为偶数时，323|(20^n+16^n-3^n-1) 。
