关于完全平方数

　　关于完全平方数（已增升级题）

　　(一)完全平方数的性质

　　一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：

　　0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

　　观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：

　　性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

　　性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

　　性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

　　推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

　　推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

　　性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

　　性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。

　　性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

　　性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

　　性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。

　　除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：

　　一个数的数字和等于这个数被9除的余数。

　　关于完全平方数的数字和有下面的性质：

　　性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

　　除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：

　　性质10： a^2b为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

　　性质11：如果质数p能整除a，但p^2不能整除a，则a不是完全平方数。

　　性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若

　　n^2<k<(n+1)^2, 则k一定不是完全平方数。

　　性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。

　　(二)重要结论

　　1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；

　　2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；

　　3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；

　　4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；

　　5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；

　　6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；

　　7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；

　　8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

　　(三)范例

　　[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

　　解：设此自然数为x，依题意可得

　　x-45=m^2................(1)

　　x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)

　　(2)-(1)可得　n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89

　　但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

　　[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。

　　分析　设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。欲证

　　n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

　　证明　设这四个整数之积加上1为m，则

　　m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2

　　而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

　　[例3]：求证：11,111,1111,......,111...1(n个1)这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。

　　分析　形如111...1(n个1)的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即

　　111...1(n个1)=(10a+1)^2　或　111...1(n个1)=(10a+9)^2

　　在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

　　证明　若111...1(n个1)=(10a+1)^2=100a^2+20a+1，则

　　111...10=100a^2+20a, 111...1(n-1个1)=10a^2+2a

　　因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

　　若111...1(n个1)=(10a+9)^2，同理。

　　综上所述，不可能是完全平方数。

　　另证　由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。

　　[例4]：试证数列49,4489,444889,......444...4888...89(n个4，n-1个8) 的每一项都是完全平方数。

　　证明（略）

　　[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？

　　解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600

　　3?600　∴3?A

　　此数有3的因子，故9?A。但9?600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。

　　[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。

　　解：设此数为aabb，则：aabb=a0b*11

　　此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11?a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。

　　直接验算，可知此数为7744=88。

　　[例7]：求满足下列条件的所有自然数：

　　(1)它是四位数。

　　(2)被22除余数为5。

　　(3)它是完全平方数。

　　解：设22n+5=N^2，其中n,N为自然数，可知N为奇数。

　　N^2-16=11(2n-1), (N+4)(N-4)=11(2n-1)

　　11?N - 4或11?N + 4

　　N=(2k-1)*11+4, N=22k-5 或 N=22k-15 (k=1,2,......)

　　经试数可知，此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

　　[例8]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？

　　解：n头羊的总价为n^2元，由题意知n^2元中含有奇数个10元，即完全平方数n^2的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，n^2的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。

　　[例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。

　　解：设矩形的边长为x,y，则四位数

　　N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y)

　　∵N是完全平方数，11为质数　∴x+y能被11整除。

　　又由分析可得x+y=11。

　　∴N=11^2*(9x+1)∴9x+1是一个完全平方数，验算知x=7满足条件。

　　又由x+y=11得y=4。∴S=xy=28cm^2.

　　(四)讨论题

　　1.(1986年第27届IMO试题)

　　设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。

　　2.求k的最大值，使得3^7可以表示为k个连续正整数之和.