第21届“迎春杯”数学科普活动初赛详解

第1题 计算： 的值为多少？
答案：30
解： ＝
＝ ＝ ＝30

第2题 污水处理厂有甲、乙两个水池，甲池原有水960立方米，乙池原有水90立方米。如果甲池的水以每小时60立方米的速度流入乙池，问：多少小时后，乙池中的水是甲池的4倍？
答案：12.5
解：因为最终乙池中的水是甲池的4倍，
所以最终甲池中有水：(960+60)÷(4+1)＝210（立方米）
需要(960-210)÷60＝12.5（小时）

第3题 将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入图1中的9个圆圈内，使图中每条直线上所填数之和都等于K，问：K的值是多少？（图中有7条直线）
答案：14
解：如图，K=A+B+C=D+E+F=H+I，
所以3K=A+B+C+D+E+F+H+I=1+2+3+…+9-G=45-G≤44，即K≤[44÷3]=14
另一方面，K=A+B+C=D+E+F=A+G+H=D+G+I=B+F+I
所以5K=(A+B+C+D+E+F+G+H+I)+(A+B+D+F+G+I)≥45+(1+2+3+4+5+6)=66
所以66÷5=13.2，即K≥14。
所以，K=14。
另外当K=14时，
因为14=A+B+C=D+E+F=H+I，所以G=3。
由于只有14=5+9=6+8可供填入A,E，H,I，
又注意到A+G+H=14，即A+H=11，5,6,8,9中只有5+6=11，
所以A=5或A=6；
当A=5时，H=6，I=8，D=3与G=3重复，不满足要求；
当A=6时，依次推出H=5，I=9，D=2，E=8，F=4，B=1，C=7。
综上所述，本题答案为K=14，且只有如图1D的惟一解。

第4题 实验小学六年级有学生152人。现在要选出男生人数的 和女生5人，到国际数学家大会与专家见面。学校按照上述要求选出若干名代表后，剩下的男、女生人数相等。问：实验小学六年级有男生多少人？
答案：77
解：设剩下的男、女生分别有x人；则共有男生： ＝1.1x，共有女生x+5人；
由1.1x+ x+5=152，得x=70；所以实验小学六年级有男生1.1×70=77(人)

第5题 小华有糖300克，他有一架天平及重量分别为30克和5克的砝码。问：小华最少用天平称几次，可以将糖分为两份，使一份重100克，另一份重200克？
答案：2
解：显然称一次无法实现。下面给出两种都只需要称2次的方法：
解法一：
（1）先将30克和5克砝码一起放在天平右边，称出重量为35克的糖；
（2）再将这35克糖当着一个砝码，再加上30克的砝码，再称出30+35=65克糖；
两部分糖合在一起，正好100克，剩下的恰为200克。
解法二：
（1）先将30克砝码放在天平一边，再把300克糖放在天平两边，平衡时天平两边分别有糖165、135克；
（2）先将30克和5克砝码一起放在天平右边，再把刚才称出的165克糖放在天平两边，平衡时天平两边分别有糖100、65克；
已经称出100克糖，剩下的65克和刚才称出的135克合起来为200克。

第6题 甲、乙两名计算机文字录入人员要共同录入一份15400字的文稿。当甲完成录入任务的 ，乙完成录入任务的80%时，两人尚未录入的字数相等。问：甲的录入任务是多少个字？
答案：8400
解法一：
设甲、乙两人的录入任务分别为x，y字，据题意，列方程：
解，得：x=8400，y=7000
解法二：
设两人尚未录入的字数均为1份；那么甲的录入任务为6份，乙的录入任务为5份，一共11份；这11份就是15400字，那么1份为15400÷11＝1400(字)；所以，甲的录入任务为：1400×6＝8400(字)

第7题 如图2所示，三角形ABC被线段DE分成三角形BDE和四边形ACDE两部分，问：三角形BDE的面积是四边形ACDE面积的几分之几？
答案：
解：如图，连接AD，
因为BE:BA＝2:(2+6)＝1:4，所以三角形BED与三角形BDA的面积比也为1:4
因为BD:BC＝3:(3+4)＝3:7，所以三角形BDA与三角形ABC的面积比也为3:7
所以三角形BED的面积是三角形ABC面积的
所以，三角形BDE的面积是四边形ACDE面积的

第8题 图3是一个奥林匹克五环标识。这五个环相交成9部分A、B、C、D、E、F、G、H、I。请将数字1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这9个部分中，使得五个环内的数字和恰好构成五个连续的自然数。问：这五个连续自然数的和的最大值是多少？
答案：70
解：∵ B、D、F、H同时出现在两个圆圈中而其它数都只出现在一个圆圈中
∴ 五个圆圈中的和为1+2+3+…+9+B+D+F+H＝45+B+D+F+H≤45+9+8+7+6=75
若五个圆圈中的总和为75，则B+D+F+H=9+8+7+6=30
又∵ 五个环内的数字和恰好构成五个连续的自然数
∴ 这五和数只能是13、14、15、16、17
考虑两端两个圆圈中和的总和，
S=(A+B)+(H+I)≥13+14=27
但B+H≤9+8=17，A+I≤4+5，∴ S最大为26，与上面的结论矛盾。
∴ 五个圆圈中的总和不可能为75
又由于五个连续自然数的和是5的倍数
∴ 五个圆圈中的总和最多为70。
另一方面，五个圆圈中的总和为70时，有以下31种解答（左右对称算同一种）：
（A,B,C,D,E,F,G,H,I）＝
3,9,1,6,5,2,4,8,7； 3,9,1,6,7,2,4,8,5； 3,9,5,2,4,8,1,6,7； 4,8,1,6,5,2,3,9,7； 4,8,2,3,6,5,1,9,7； 4,8,2,5,6,3,1,9,7； 4,8,3,2,7,6,1,9,5； 4,8,5,2,3,9,1,6,7； 4,9,1,6,5,3,2,7,8； 4,9,2,5,6,3,1,8,7； 4,9,2,5,7,3,1,8,6； 5,7,1,6,2,8,3,4,9； 5,7,1,8,2,4,3,6,9； 5,7,3,4,1,8,2,6,9； 5,7,3,6,1,8,2,4,9； 5,8,1,6,2,4,3,7,9； 5,8,1,6,4,2,3,9,7； 5,8,1,7,3,4,2,6,9； 5,8,2,4,1,7,3,6,9； 5,8,3,4,2,6,1,7,9； 5,9,1,6,4,2,3,8,7； 5,9,1,6,4,3,2,7,8； 6,7,2,5,1,9,3,4,8； 6,7,3,5,2,9,1,4,8； 6,8,2,3,4,5,1,9,7； 6,8,2,3,4,9,1,5,7； 6,8,2,5,4,3,1,9,7； 6,8,4,3,1,9,2,5,7； 6,9,2,5,1,7,3,4,8； 6,9,3,4,1,7,2,5,8； 6,9,4,3,2,8,1,5,7；

第9题 有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张。相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答案分别为：92、125、133、147、158、191。老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了。问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？
答案：35或42
解：5名同学中恰好有两对同学，每对同学拿的四张卡片颜色各不相同，这样他们所拿卡片的和就相等；而6名同学上交的答案中，只有92+191=125+158=283，所以92，125、158、191这4个答案都正确。错误的一定为133或147，下面分情况讨论：
设四种颜色卡片上所写的数从小到大为：A＜B＜C＜D
（1）错误的为133，则正确的应该是283-147=136
首先有A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191
根据A+B=92，A+C=125，得C-B=33为奇数，所以B+C只能为奇数，得B+C=147
此时，解为A=35，B=57，C=90，D=101
（2）错误的为147，则正确的应该是283-133=150
同样的B+C只能为奇数，得B+C=133，解，得：A=42，B=50，C=83，D=108
综上所述，四种颜色卡片上所写各数中最小数是35或42

第10题 甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点。如果甲速度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？
答案：11
解法一：（方程法）
设甲、乙两人原来的速度分别为x千米/时，y千米/时，那么AC=5x，BC=5y，

在第二、三次相遇中利用甲、乙两人所用时间相等，可得方程组如下：
，交叉相乘，化简，得： ，即
答：甲原来的速度是每小时11千米。

解法二：（算术法）
在第二次相遇中，假设走满5小时，甲走到了C点，乙则走到了F点，
FC长：4×5＝20(千米)
FD长：20－10＝10(千米)
所以乙提速4千米/时后，甲、乙速度比为DC:DF＝10:10＝1:1
同样的，在第三次相遇中，假设走满5小时，乙走到了C点，甲则走到了G点，
CG长：3×5＝15(千米)
EG长：15－5＝10(千米)
所以甲提速3千米/时后，甲、乙速度比为EG:CE＝10:5＝2:1
这样，乙速为：(4+3)÷(2-1)×1＝7(千米/时)
所以，甲速为：7+4＝11(千米/时)

第11题 在由25个边长为1的正方形组成的5×5的方格网中有3个方格内已经标有3个数3、4、5（如图4所示）。请你用一条封闭的折线沿水平或竖直方向把其余22个方格的中心连接起来，要求这条折线在标有数字的方格的所有邻格（邻格指至少有一个公共边界点的两个方格）内发生拐弯的次数恰好与该数相等。问：这条封闭的折线有多少个拐弯处？（示例图5中折线有10个拐弯处）
答案：12
唯一解答如图4D