华数导引　四年级计数问题　排列组合

　　1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？

　　分析：从5个元素中取3个的排列：P（5、3）=5×4×3=60

　　2、从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？

　　分析：个位数字是0：P（5、4）=120；个位数字是5：P（5、4）－P（4、3）=120－24=96，（扣除0在首位的排列）合计120＋96=216

　　另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。 
 
　　3、用2、4、5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第多少个数？

　　分析：由已知得每个数字开头的各有24÷4=6个，从小到大排列7开头的从第6×3＋1=19个开始，易知第19个是7245，第20个7254。

　　4、有些四位数由4个不为零且互不相同的数字组成，并且这4个数字的和等于12，将所有这样的四位数从小到大依次排列，第24个这样的四位数是多少？

　　分析：首位是1：剩下3个数的和是11有以下几种情况：⑴2＋3＋6=11，共有P（3、3）=6个；⑵2＋4＋5=11，共有P（3、3）=6个；

　　　　　首位是2：剩下3个数的和是10有以下几种情况：⑴1＋3＋6=10，共有P（3、3）=6个；⑵1＋4＋5=10，共有P（3、3）=6个；以上正好24个，最大的易知是2631。

　　5、用0、1、2、3、4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如1023、2341等，求全体这样的四位数之和。

　　分析：这样的四位数共有P（4、1）×P（4、3）=96个

　　1、2、3、4在首位各有96÷4=24次，和为（1＋2＋3＋4）×1000×24=240000；
　　1、2、3、4在百位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×100×18=18000；
　　1、2、3、4在十位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×10×18=1800；
　　1、2、3、4在个位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×1×18=180；

　　总和为240000＋18000＋1800＋180=259980

　　6、计算机上编程序打印出前10000个正整数：1、2、3、……、10000时，不幸打印机有毛病，每次打印数字3时，它都打印出x，问其中被错误打印的共有多少个数？

　　分析：共有10000个数，其中不含数字3的有： 五位数1个，四位数共8×9×9×9=5832个，三位数共8×9×9=648个，二位数共8×9=72个，一位数共8个，不含数字3的共有1＋5832＋648＋72＋8=6561　　所求为10000－6561=3439个
 
　　7、在1000到9999之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为2，并且4个数字各不相同的四位数有多少个？

　　分析：1□3□结构：8×7=56，3□1□同样56个，计112个；
　　　　　2□4□结构：8×7=56，4□2□同样56个，计112个；
　　　　　3□5□结构：8×7=56，5□3□同样56个，计112个；
　　　　　4□6□结构：8×7=56，6□4□同样56个，计112个；
　　　　　5□7□结构：8×7=56，7□5□同样56个，计112个；
　　　　　6□8□结构：8×7=56，8□6□同样56个，计112个；
　　　　　7□9□结构：8×7=56，9□7□同样56个，计112个；
　　　　　2□0□结构：8×7=56，
　　　　　以上共112×7×56=840个

　　8、如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？

　　分析：因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、外语：4×5=20；所以共有12＋15＋20=47

　　9、某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？

　　分析：方法一：一张车票包括起点和终点，原来有P（7、2）=42张，（相当于从7个元素中取2个的排列），现在有P（10、2）=90，所以增加90－42=48张不同车票。

　　　　　方法二：1、新站为起点，旧站为终点有3×7=21张，2、旧站为起点，新站为终点有7×3=21张，3、起点、终点均为新站有3×2=6张，以上共有21＋21＋6=48张 
 
　　10、7个相同的球放在4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？

　　分析：因为7=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，相当于从6个加号中取3个的组合，C（6、3）=20种

　　11、从19、20、21、22、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？

　　分析：76个数中，奇数38个，偶数38个　偶数＋偶数=偶数：C（38、2）=703种，奇数＋奇数=偶数：C（38、2）=703种，以上共有703＋703=1406种

　　12、用两个3，一个1，一个2可组成若干个不同的四位数，这样的四位数一共有多少个？

　　分析：因为有两个3，所以共有P（4、4）÷2=12个

　　13、有5个标签分别对应着5个药瓶，恰好贴错3个标签的可能情况共有多少种？

　　分析：第一步考虑从5个元素中取3个来进行错贴，共有C（5、3）=10，第二步对这3个瓶子进行错贴，共有2种错贴方法，所以可能情况共有10×2=20种。

　　14、有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有1张，标有数码“2”的有2张，标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的有3张，把这9张圆形纸片如呼所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许*在一起。 ⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？ ⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？

　　分析：

　　⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构： 在剩下的6个位置中，3个“4”必须隔开，共有奇、偶位2种放法，在剩下的3个位置上“1”有3种放法（同时也确定了“2”的放法）。 由乘法原理得共有2×3=6种不同的放法。

　　⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，有如下几种情况：

　　结构一： 3个“3”和3个“4”共有2种放法，再加上2和1可以交换位置，所以共有2×2=4种；

　　结构二：3个“4”有奇、偶位2种选择（相应的“1”也定了，只能*着已有的“3”，加上2和3可以交换，所以共有2×2=4种；

　　结构三：3个“3”有奇、偶位2种选择，“1”有唯一选择，只能*到已有的“4”，加上2和4可以交换位置，所以共有2×2=4种，

　　以上共有4＋4＋4=12种不同的放法。

　　15、一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。问：⑴如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？⑵如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？

　　分析：⑴4个舞蹈节目要排在一起，好比把4个舞蹈?在一起看成一个节目，这样和6个演唱共有7个节目，全排列7！，加上4个舞蹈本身也有全排4！，所以共有7！×4！=120960种。

　　　　　⑵4个舞蹈必须放在6个演唱之间，6个演唱包括头尾共有7个空档，7个空档取出4个放舞蹈共有P（7、4），加上6个演唱的全排6！，共有P（7、4）×6！=604800种。