“希望杯”数学邀请赛培训题(四)及答案解析

二、解答题

　　76．一辆公共汽车由起点站到终点站（含起点站与终点站在内）共行驶8个车站。已知前6个车站共上车100人，除终点站外共下车总计80人，问从前6站上车而在终点下车的乘客共有多少人？

　　77．已知代数式，当时的值分别为1－，2，2，而且不等于0，问当时该代数式的值是多少？

　　78．如图，在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？

　　79．有理数均不为0，且设试求代数式2000之值。

　　80．已知为整数，如果，请你证明：。

　　答案与提示

　　76．设第1站到第7站上车的乘客依次为： 第2站到第8站下车和乘客依次为：
显然应有：＝
已知＝100，＝80，
代入    100＋    即
这表明，从前6站上车而在终点站下车的乘客共20个。

　　77．将分别代入该代数式，得到
由此可得          将代入第一个和第三个等式中，得 
∴；    进而得到 
将和代入代数式中，得到＝
；再将代入，得  即当时该代数式的值是

　　78．设甲的运动速度是  乙的运动速度是，丙的运动速度是．设环形轨道长为L。甲比乙多运动一圈用时50秒，故有－＝    ①
甲比丙多运动一圈用时40秒，故有－＝            ②
②－①可得到－＝－＝                      ③

                ④

               ⑤
甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离
＝（－）×30－（ －）×10； 乙追上丙所用时间＝

＝秒．所以第110秒时，乙追上丙．

　　79．由均不为0，知均不为0．又中不能全同号，故必一正二负或一负二正．于是
即  所以中必有两个同号，另一个符号其相反，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1．

∴    

因此，   

　　80．已知又已知即存在整数，使得
所以   由整除性质得