名师指导:希望杯试题中倍差问题的三种变形

    在第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛中，有这样一道题：为了过冬，小白兔和小黑兔都储藏了一些胡萝卜。已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3倍。它们各吃了5个胡萝卜后，小白兔剩下的胡萝卜数量是小黑兔剩下数量的4倍。那么它们剩下的胡萝卜共有          个。

    同学们在遇到这道题的时候，似乎无从下手，但这实际上考察的是我们所学过的一个专题――差倍问题。下面我们来把这道题变一下，看看这与我们差倍问题的基本题型有哪些一致的地方，这道题我们应如何来解决。

    变①:为了过冬，小白兔和小黑兔都储藏了相同数量的胡萝卜，小白兔吃了7个胡萝卜，小黑兔吃了13个胡萝卜后，小白兔剩下的胡萝卜的个数是小黑兔的3倍，求小白兔和小黑兔原来储藏胡萝卜多少个？

    分析：用线段图表示题目里的已知条件和所求问题。

    从图上可以看出：小白兔比小黑兔少吃了13-7=6（个）胡萝卜，也就是小白兔比小黑兔多剩了6个胡萝卜。我们把小黑兔胜的胡萝卜看成一份，则小白兔剩下的胡萝卜是小黑兔的3倍，小白兔比小黑兔就多了3-1=2（份），把6个胡萝卜平均分成2份，每份就是小黑兔剩下的胡萝卜的个数，加上小黑兔吃掉的胡萝卜的个数，就是小黑兔原来有的胡萝卜的个数。

    解：（13-7）÷（3-1）+13=16（个）

    或者（13-7）÷（3-1）×3+7=16（个）

    答：小白兔和小黑兔原来储藏胡萝卜16个。

    小注：这个变形是我们接触过的差倍问题的第一种变形，最开始两个数量是相同的，但经过变化后就出现了一定的倍数关系，通过分析找出数量差，从而求解。

    变②：为了过冬，小白兔和小黑兔都储藏了一些胡萝卜。已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3倍。小白兔吃了13个胡萝卜，小黑兔吃了3个胡萝卜后，小白兔与小黑兔所剩的胡萝卜的个数相同。求小白兔和小黑兔原来储藏胡萝卜多少个？

    分析：用线段图表示题目里的已知条件和所求问题。

    从图上可以看出，小白兔吃了13胡萝卜，小黑兔吃了3个胡萝卜后，小黑兔与小白兔所剩胡萝卜的个数一样多，也就是说原来小白兔比小黑兔多13-3=10（个）胡萝卜，正好是小黑兔储藏胡萝卜的（3-1）倍，把10个胡萝卜平均分成2份，每份就是小黑兔储藏胡萝卜的个数，然后可以求出小白兔储藏胡萝卜的个数。

    解：（13-3）÷（3-1）=5（个）••••••小黑兔

    5×3=15（个）••••••小白兔

    答：小黑兔原来储藏胡萝卜5个，小白兔原来储藏胡萝卜15个。

    小注：与变①相比，这是差倍问题的另一种变形，知道了开始两个数量之间的倍数关系，但经过变化之后，两个数量相等，由此我们找到数量差，从而求解。

    接下来，我们来看最开始的这道竞赛题。我们可以看到这两个数量在最开始和变化后都没有相等，而是成一定的倍数关系，但我们会发现倍数发生了变化，由3倍变成了4倍，那么这道题如何解答呢？请你先回答下面的问题！

    分析：问题1：在小黑兔吃了5个胡萝卜后，为使小白兔所剩胡萝卜的个数还是小黑兔的3倍，小白兔应该吃掉几个胡萝卜？

    聪明的你一定很快答出来了是15个。

    问题2：小黑兔吃了5个胡萝卜，小白兔吃了15个后，倍数关系没有发生变化；

    小黑兔吃了5个胡萝卜，小白兔也吃了5个后，倍数关系变成了4倍，你发现了什么？

    看下面的线段图：

    （我们把小白兔吃了15个胡萝卜记为情况1，小白兔吃了5个胡萝卜记为情况2。）

    通过线段图，你们是不是已经清楚地看到，情况1与情况2中的红线部分是一样长的，可见小白兔在情况2中比在情况1中少吃了3×5-5=10（个）胡萝卜，使得在情况2中比在情况1中所剩的胡萝卜的个数多了4-3=1（倍），也即小黑兔现在剩下的胡萝卜的个数为10个，从而我们就可以求出原来小白兔和小黑兔各储藏了多少个胡萝卜。

    解：（3×5-5）÷（4-3）=10（个）......少吃的
    10+5=15（个） ......小黑兔
    15×3=45（个）......小白兔
    答：小黑兔原来储藏胡萝卜15个，小白兔原来储藏胡萝卜45个。

    小注：这是变①与②的综合，也是差倍问题的第三种变形，如果同学们能真正掌握这三种类型的题，那么在考试中，无论出现哪类差倍问题的题型，你们都能应对自如的。

    由此，我们可以了解到，竞赛题对于我们来说并不是遥不可及的，他只是由我们学过的一些基本类型的题组成的，所以只要我们平时抓住基础，注意积累，一定能在竞赛中取得好成绩。

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