2011年“希望杯”复赛真题及答案详解（四年级）

1. 原式=(70+90)÷4÷4=10。

2. 原式=1000+10000+100000+1000000-102×4=1111000-408=1110592。

3. 原式=(2×3+3)⊙(2×4-2)=9⊙6=9×6+6=60。

4. 97倍是偶数，所以原数是偶数。因为被5整除，所以个位数字是0。
十位数字不小于6，可能是60，70，80，90，其中不被3整除也不被4整除
的只有70。

5. 首先观察到第一行是2，4，6，8，根据第一列和第三列，相等的商都是
3，进而可推出数表如下：
2 4 6 8
6 12 18 24
18 36 54 72
54 108 162 216
a+b×c=108+72×6=540。

6. 它的3倍与4的差是10的倍数，也就是说它的3倍的个位数为4，原数的个位数
为8。它的4倍与15的差在60与100之间，也就是说它的4倍在75与115之间，
原数在19与28之间，所以原数为28。

7. 千位有4种方法，百位有1种方法，十位有5种方法，个位有5种方法，所以
有4×1×5×5=100个。

8. 显然最多只能剪下4个直角边为6的等腰直角三角形，所以剩余部分的面积
为12×8-2×6×6=24平方厘米。

9. 如果除数为9到6，余数为1到4；如果除数小于等于5，余数也至多为4。
所以余数的和为0+1+2+3+4=10。

10. 每袋装7个苹果和3个梨，如果要想装完梨，还需要12÷3×7=28个苹果。
所以两种装法之间相差4+28=32个苹果，共有32÷(7-5)=16组，所以共有
16×3=48个梨，16×5+4=84个苹果，共有48+84=132个。

11. 基本三角形有6个，由2个基本三角形组成的三角形有3个，
由3个基本三角形组成的三角形有6个，还有一个大三角形，所以共有
6+3+6+1=16个。由于基本三角形的面积都相等，所以有4种不同取值。

12. 分两种情况讨论：
第一种：A和B过，A回，C和D过，B回，A和B过，共用4+3+6+4+4=21分钟；
第二种：A和B过，A回，A和C过，A回，A和D过，共用4+3+5+3+6=21分钟。
所以，至少需要21分钟。

13. 摩托车与汽车的速度比为120:180=2:3，所以，
所求答案为2×2÷(3-2)=4小时，第二个条件是多余的。

14. 设三个和分别为3a，3a，a，中间数为x，则七个数之和再加上2x
就等于7a，也就是说2x+132=7a。2x+132为7的倍数，也就是说x+66为
7的倍数，x被7除余4。
这里面有11和18被7除余4，对应a为22和24。经检验，前者可以，后者不可以。

15. 各题答错的总人次数为7+10+14+9+20+17+28+25+22+41=193，
每有一个人不及格，则他至少答错5题，193÷5=38……3，所以至多
有38人不及格，至少有62人及格。
为说明是可以的，注意41正好比38多3，所以这38个人全都在第10题上
答错，剩余的答错次数恰好平均分配到其他9题上：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
全对 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59
只有最后一题错 3 3 3 3 3 3 3 3 3
不及格的人 20 20 20 20 20
9 9 9 9 9
4 4 4 4 4
3 3 3 3 3
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
总共 93 90 86 91 80 83 72 75 78 59

16. 乙要想能看到甲，必须在同一个"凹槽"里面才行。
甲每4秒爬一条边，乙每5秒爬一条边。
甲所在的时间段 乙所在的时间段 乙能看到甲的时间
第一个凹槽 0秒~4秒 0秒~10秒 4秒
第二个凹槽 4秒~12秒 10秒~20秒 2秒
第三个凹槽 12秒~20秒 20秒~30秒 0秒
第四个凹槽 20秒~28秒 30秒~40秒 0秒
第五个凹槽 28秒~36秒 40秒~50秒 0秒
所以，乙能看到甲的时间共为4+2=6秒。