某重点中学分班考模拟试题及分析(一)

　　1、定义“A☆B”为A的3倍减去B的2倍，即A☆B=3A-2B，已知x☆(4☆1)=7，则x=__________。

　　解：3x-2(3×4-2×1)=7，解得x=9。

　　2、有红、黄、蓝三面旗，把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按照挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这三面旗能表示__________种不同信号。(不算不挂旗情况)

　　解： =15种不同的信号。

　　3、某自然数加10或减10，都是完全平方数，则这个自然数是__________。

　　解：设这个自然数为m， ，A2-B2=(A-B)×(A+B)=20=22×5，

　　而(A-B)与(A+B)同奇同偶，所以只能是 ，解得 ，所以m=62-10=26。即这个自然数为26。

　　4、从1，2，3，…，30这30个自然数中，至少要取出__________个不同的数，才能保证其中一定有一个数是5的倍数。

　　解：其中不是5的倍数的数有30- =24个，于是只有选出25个数出来就能满足要求。

　　5、某小学六年级选出男生的 和12名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是剩下的女生人数的2倍，已知这个学校六年级学生共有156人，则这个年级有男生__________人。

　　解：设有男生11x人，女生y人，那么有 ，解得 ，即男生有99人。

　　6、甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，赛后猜测他们之间的考试乘绩情况是：

　　甲说：“我可能考的最差。”

　　乙说：“我不会是最差的。”

　　丙说：“我肯定考的最好。”

　　丁说：“我没有丙考的好，但也不是最差的。”

　　成绩公布后，只有一人猜错了，则此四人的实际成绩从高到低的次序是__________。

　　解：甲不会错，

　　①假设乙错了，于是丙、丁正确，有“丙□□乙”;

　　②假设丙错了，于是为“…丙…丁…”，所以第一名只能是乙，于是为“乙丙丁甲”;

　　③假设丁错了，因为丙一定是最好的，所以丁只能是最后一句话错误，也就是说丁是最差的，“丙□□丁”。

　　即只能在②丙错误的情况下唯一确定为“乙丙丁甲”。

　　7、一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有二面被油漆涂过的数目是多少个?

　　解：共有10×10×10=1000个小正方体，其中没有涂色的为(10-2)×(10-2)×(10-2)=512个，所以一面被油漆漆过的小正方体为(10-2)×(10-2)×6=384　，所以至少有二面涂过的有1000-512-384=104个。

　　也可以这样解决涂二面的有(10-2)×12=96　，涂三面的有8个，所以共有96+8=104个

　　8、某校六年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组。已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人;参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人;参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人。那么三组都参加的有多少人?

　　解：设参加语文小组的人组成集合A，参加英语小组的人组成集合B，参加数学小组的人组成集合C。

　　那么不只参加一种小组的人有：110-16-15-21=58，为|A∩B|+|B∩C|+|A∩C|+|A∩B∩C|;

　　不只参加语文小组的人有：52-16=36，为|A∩B|+|A∩C|+|A∩B∩C|;

　　不只参加英语小组的人有：61-15=46，为|A∩B|+|B∩C|+|A∩B∩C|;

　　不只参加数学小组的人有：63-21=42，为|B∩C|+|A∩C|+|A∩B∩C|;

　　于是，三组都参加的人|A∩B∩C|有36+46+42-2×58=8人。

　　9、在半径为10cm的圆内，C为AO的中点，则阴影的面积为____。

　　解：扇形AOB面积为 ×10×10×π=25π，三角形BOD面积为 ×5×10=25，所以阴影部分面积为25π-25=25×2.14=53.5平方厘米。

　　10、当A+B+C=10时(A、B、C是非零自然数)。A×B×C的最大值是____，最小值是____。

　　解：当为3+3+4时有A×B×C的最大值，即为3×3×4=36;

　　当为1+1+8时有A×B×C的最小值，即为1×1×8=8。

　　11、如图在∠AOB内有一定点P。试在角的两边OA、OB上各找个一点M、N使三角形PMN的周长最短，(保留找点时所做的辅助线)并作简单说明。

　　解：如图所示，做出P点关于OA的对称点P′，做出P点关于OB的对称点P″，连接P′P″，分别交OA、OB。则这两个交点即为所求M、N。

　　12、如图有5×3个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问可以组成____个三角形。

　　解：如下图，任选三点有 =455种选法，其中三点共线的有3 +5+4×2=30+5+8=43。所以，可以组成三角形455-43=412。