第18届华杯赛每周一练试题及答案第十一期

    北京奥数网：第18届华杯赛初赛于明年3月份举行，华杯赛官网发布每周一练试题，小编给大家进行了汇总。

    华杯赛每周一练试题及答案第十一期

　　试题一（小学中年级组）

　　今年，父亲的年龄是儿子年龄的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子的年龄各是多少？

　　答案：父亲25岁，儿子5岁。

　　分析：解决年龄问题时，我们要抓住其主要特点，大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。此例中，“15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍”，从而父子年龄差恰为15年后儿子的年龄，也就是儿子现在年龄加上15岁。又因“今年，父亲的年龄是儿子年龄的5倍”，年龄差为儿子的5－1＝4（倍）。由年龄差保持不变，可知儿子年龄，问题即可得以解决。

　　详解：父子年龄差为儿子现在年龄的5－1＝4（倍）。

　　又因15年后父年龄是子年龄的2倍，年龄差为儿子年龄加上15岁，

　　所以，儿子今年是15÷（4－1）＝5（岁），

　　父亲是5×5＝25（岁）。

　　试题二：（小学中年级组）

　　在算式2×□□□＝□□□的6个空格中，分别填入2、3、4、5、6、7这六个数字，使算式成立，并且乘积能被13除尽。那么这个乘积是多少？

　　答案546.

　　分析：本题的关键在于，乘积能被13除尽这个条件是一个很难利用的条件，因为一个三位数能被13整除并没有什么规律性。所以我们应该抛开这个条件不管。先研究等式可能是怎样的，最后利用这个条件做选择。

　　详解：我们把算式写为2×ABC＝DEF。由于DEF是偶数，所以F只能是2、4、6。

　　若F是2，则C只能是6。并且由于C不能取比3大的数（否则D至少是8），A只能是3。由于C是6，所以D只能是7。这样算式成为2×3□6＝7□2。容易看出，无论4和5怎么填算式都不会成立。

　　若F是4，则C只能是2或7。若C是2，则同上面一样可以知道A只能是3，容易看出无论D是6还是7，算式都不可能成立。所以C是7。这样当A是2或3时，我们分别可以得到两个结果：2×267＝534，2×327＝654。

　　若F是6，则C只能是3，并且A只能是2，容易实验出此时算是为2×273＝546。

　　最后由乘积能被13除尽得乘积只能是546。

　　试题三：（小学中年级组）

　　将所有自然数自1开始写下去，得到：1234567891011……试确定在206788个位置上出现的数字。

　　答案7。

　　分析这与给书编页码所用数字问题类似。从206788这个数字看来，数应写到了很大位置，至少是10000以后，这样相当于问用了大约206788个数字来编书页码，书一共有多少页的问题，求出了最后的页数，相对应的数字也就可以求。

　　详解从1写到9用了9个数字；

　　从10到99用了2×90＝180个数字；

　　从100到999用了3×900＝2700个数字；

　　从1000到9999用了4×9000＝36000个数字；

　　即从1写到9999共写了9＋180＋2700＋36000＝38889个数字。

　　从10000写到99999用了450000个数字，而450000大于206788，因此206788个位数位置上对应数字所在的自然数在10000与99999之间。因此从10000开始还写了206788——38889＝167899个数字。由于10000与99999之间每个自然数占5个数字，因此写到完整自然数应用去5的倍数个数字。考虑到从10000开始一共用到了167899＋1＝167900个数字。这样一共写了167900÷5＝33580个数字，即从10000写到了45579，于是第206789个数字为9，第206788个数字为7。

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