第18届华杯赛每周一练试题及答案第十七期

    北京奥数网：第18届华杯赛初赛于2013年3月份举行，华杯赛官网发布每周一练试题，小编给大家进行了汇总。

    华杯赛每周一练试题及答案第十七期

　　试题一

　　在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲．请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息．

　　解析：2个人只需通话1次；

　　3个人只需通话3次；

　　4个人只需通话4次，如（a，b），（c，d），（a，c）（b，d）；

　　而之后每增加1个人，在最初和最后各增加1次通话即可。

　　那么共需4＋（100[size=5--4）×2＝196次，记这100个人为1--100号，下面给出一种通话方案：

　　第1次：第1号和第100号通话；

　　第2次：第1号和第99号通话；

　　第3次：第1号和第98号通话；

　　……

　　第96次：第1号和第5号通话；

　　第97次：第1号和第2号通话；

　　第98次：第3号和第4号通话；

　　第99次：第1号和第3号通话；

　　第100次：第2号和第4号通话；

　　第101次：第1号和第5号通话；

　　第102次：第1号和第6号通话；

　　第103次：第1号和第7号通话；

　　……

　　第196次：第1号和第100号通话；

　　前100次通话使得，1--4号知道所有人的信息，以后每次通话将多使一人知道全部的信息。

    试题二：

　　今有长度为1，2，3，…，198，199的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成

　　（1）一个正方体框架？

　　（2）一个长方体框架？

　　解析：

　　（1）正方体不可能，因为正方体的12条棱长度相同，所以所有数的和应该是12的倍数。但1＋2＋3＋…＋198＋199＝19900，不是12的倍数。

　　（2）长方体可能，因为长方体的棱长和只需要是4的倍数即可，19900是4的倍数。

　　下面给出一种构造方法：

　　有199＝1＋198＝2＋197＝3＋196＝…＝98＋101＝99＋100。

　　这样我们将199个金属杆变成100个长度为199的杆，这样让长、宽、高分别为199×8，199×7，199×10即可，需（8＋7＋10）×4＝100根，正好满足。

　　试题三：

　　小明参加了6次数学测验，这6次测验有一个总平均分，后4次测验的平均分比总平均分多3分，第一、第二、第六这3次的平均分比总平均分少3.6分。那么前5次的平均分比总平均分（多、少）多少分？

　　解析：我们将总平均分视为基准分，有第三、四、五、六次测试分数总和比4个基准分多3×4＝12分；

　　第一、二、六3次测试分数总和比3个基准分少3.6×3＝10.8分。

　　则第一、二、三、四、五、六次测试再加上1个第六次测试的分数总和比7个基准分多12——10.8＝1.2分，即第六次测试的分数比基准分多1.2分。

　　所以第一、二、三、四、五次测试的分数总和比5个基准分少1.2分，

　　则平均分比总平均分少1.2÷5＝0.24分。

　　即前5次的平均分比总平均分少0.24分。

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