小升初奥数天天练数论——独有因数

    北京奥数网讯 智康1对1付金海老师每日提供奥数天天练试题供咱们小升初的孩子练习，今日发布数论——分数的公约及公倍。

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　　考点：独有因数

　　难度：3星

　　来源：思维导引

　　题目：已知自然数A、B满足以下2个性质：（1）A、B不互质；（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。那么A+B的最小值是多少？

　　答案：设（A，B）=M，那么A=Ma，B=Mb,其中a,b分别表示A,B的独有因数。那么[A,B]=Mab，即有(A,B)+[A,B]=M+Mab=M(1+ab)=35，因为A,B不互质，所以M1，而根据上面的式子M是35的因数，所以M只可能为5或7.

　　1）当M=5时，ab=6,此时有

    A+B=M(a+b)=5*(1+6)=35，或A+B=M(a+b)=5*(2+3)=25

　　2）当M=7时，ab=4,此时有（舍）因为(a,b)=1

　　A+B=M(a+b)=7*(1+4)=35，或A+B=M(a+b)=7*(2+2)=28（舍）

　　所以A+B的最小值是25。

　　分析：独有因数是约数倍数中引入的一个比较通俗的概念，可以非常清晰的帮助大家证明约数倍数中的一些常用性质，同时也可以帮助我们更容易的解决问题，此题出自思维导引，也被一些重点学校引用做为考试真题。