小升初奥数天天练数论——公约公倍综合

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　　考点：公约公倍综合

　　难度：4星

　　来源：走美、思维导引

　　题目：若 a , b , c 是三个互不相等的大于0的自然数，且a + b + c = 1155 ，则它们的最大公约数的最大值为，最小公倍数的最小值为，最小公倍数的最大值为 ．

　　答案：由于a + b + c = 1155，而1155=3×5×7×11。令a=mp，b=mq，c=ms.m为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7。此时m=165.

　　为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的中最大的数就是最小公倍数，也就是说最大的数是其他2个数的倍数，所以应使,此时A=630，,此时三个数分别为210，315，630，它们的最小公倍数为630，所以最小公倍数的最小值为630。

　　为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。

　　所以，最大公约数的最大值为165，最小公倍数的最小值为630，最小公倍数的最大值为57065085

　　分析：此题难度较大，学生需要针对不同的情况进行分析，对于第一问，前面讲过，本身难度也较低，所以可以轻松做出来。对于第二问应该会有很多同学算成660，其实最小公倍数的取得最小值时，不一定是最大公约数的最大值。