小升初奥数天天练数论——完全平方数综合

    北京奥数网讯 智康1对1付金海老师每日提供奥数天天练试题供咱们小升初的孩子练习，今日发布数论——完全平方数综合。

    点击进入：奥数天天练

　　考点：完全平方数综合

　　难度：5星

　　来源：数学解题能力展示

　　题目：有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这18个数的平均数是：          ．

　　答案：一般而言，4个不同的数字共可组成（个）不同的4位数．如果只能组成18个不同的4位数，说明其中必有0，即按算出来的．在这四个不同的数中，则设最小的数，倒数第二个则是，两数正好是一对反序数．根据完全平方数特点，"小"、"大"两数必是1，4，6，9之中的两个．且中数在小大之间．

　　可以为以下3类：

　　当"大"=4，在1024、1034中，1034不是完全平方数，，但4201不成立．

　　当"大"=6，1026、1036、1046、1056、4056．都不是完全平方数．

　　当"大"＝9，

　　在的数中，取，而

　　在的数中，取632，672不成立．

　　在的数中，取672，732不成立．

　　在的数中，取732，772不成立．

　　所以，符合条件的数只能是由1089开始的四位数，

　　求这18个数的和，有两种方法，一种是枚举法，另一种是概率法，可以作为方法来记：

　　即，对于没有0的四位数a，b，c，d排列互不相同的四位数时，共有24个数，每个数字在每位上出现的概率机会是一样的，所以，每个数字在每位上都出现（次）．

　　则总和为：．

　　如果有一个数是0，则在此基础上，考虑0作首位的部分要排除．

　　即：，

　　所以，本题的总和为，所以，这18个数的平均数为．

　　分析：此题为2008年数学解题能力展示初赛试题，考查了完全平方数、计数、平均数的综合，难度较大，而且计算时还包含了一些技巧，所以当年考试正确率比较低。此题综合性比较强，所以对学生而言难度也就比较大，如果非常熟悉平均数，是可以跳过前面复杂的分类讨论阶段，直接试数2~3次即可得到1、0、8、9这几个数字，然后求得平均数即可。但是对于不熟悉平方数的学生，此题会浪费很多时间。