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小学奥数数论问题专项练习:约数倍数

2017-08-14 13:29:32

 小学奥数数论问题专项练习:约数倍数

  练习题:若a,b,c是三个互不相等的大于0的自然数,且a+b+c=1155,则它们的最大公约数的最大值为(),最小公倍数的最小值为(),最小公倍数的最大值为()。

  解答:

  165、660、57065085

  1)由于a+b+c=1155,而1155=3×5×7×11。令a=mp,b=mq,c=ms.m为a,b,c的最大公约数,则p+q+s最小取7。此时m=165。

  2)为了使最小公倍数尽量小,应使三个数的最大公约数m尽量大,并且使A,B,C的最小公倍数尽量小,所以应使m=165,A=1,B=2,C=4,此时三个数分别为165,330,660,它们的最小公倍数为660,所以最小公倍数的最小值为660。

  3)为了使最小公倍数尽量小,应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时,为了使它们的乘积尽量大,应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的,所以可以令1155=384+385+386,但是在这种情况下384和386有公约数2,而当1155=383+385+387时,三个数两两互质,它们的最小公倍数为383×385×387=57065085,即最小公倍数的最大值为57065085。

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来源:北京奥数网

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