小学奥数数论问题专项练习：约数倍数

 小学奥数数论问题专项练习：约数倍数

　　练习题：若a，b，c是三个互不相等的大于0的自然数，且a+b+c=1155，则它们的最大公约数的最大值为（），最小公倍数的最小值为（），最小公倍数的最大值为（）。

　　解答：

　　165、660、57065085

　　1)由于a+b+c=1155，而1155=3×5×7×11。令a=mp，b=mq，c=ms.m为a，b，c的最大公约数，则p+q+s最小取7。此时m=165。

　　2)为了使最小公倍数尽量小，应使三个数的最大公约数m尽量大，并且使A，B，C的最小公倍数尽量小，所以应使m=165，A=1，B=2，C=4，此时三个数分别为165，330，660，它们的最小公倍数为660，所以最小公倍数的最小值为660。

　　3)为了使最小公倍数尽量小，应使三个数两两互质且乘积尽量大。当三个数的和一定时，为了使它们的乘积尽量大，应使它们尽量接近。由于相邻的自然数是互质的，所以可以令1155=384+385+386，但是在这种情况下384和386有公约数2，而当1155=383+385+387时，三个数两两互质，它们的最小公倍数为383×385×387=57065085，即最小公倍数的最大值为57065085。