奥数模块学习：组合竞赛原理及例题

　　第13讲 抽屉原理

　　把5个苹果放到4个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有2个苹果，这是抽屉原理的通俗解释。一般地，我们将它表述为：

　　第一抽屉原理：把(mn+1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m+1)个物体。

　　使用抽屉原理解题，关键是构造抽屉。一般说来，数的奇偶性、剩余类、数的分组、染色、线段与平面图形的划分等，都可作为构造抽屉的依据。

　　例1 从1，2，3，…，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定：

　　(1)有2个数互质;

　　(2)有2个数的差为50;

　　(3)有8个数，它们的最大公约数大于1。

　　证明：(1)将100个数分成50组：

　　{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。

　　在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组中的2个数是两个相邻的整数，它们一定是互质的。

　　(2)将100个数分成50组：

　　{1，51}，{2，52}，…，{50，100}。

　　在选出的51个数中，必有2个数属于同一组，这一组的2个数的差为50。

　　(3)将100个数分成5组(一个数可以在不同的组内)：

　　第一组：2的倍数，即{2，4，…，100};

　　第二组：3的倍数，即{3，6，…，99};

　　第三组：5的倍数，即{5，10，…，100};

　　第四组：7的倍数，即{7，14，…，98};

　　第五组：1和大于7的质数即{1，11，13，…，97}。

　　第五组中有22个数，故选出的51个数至少有29个数在第一组到第四组中，根据抽屉原理，总有8个数在第一组到第四组的某一组中，这8个数的最大公约数大于1。

　　例2 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。

　　证明：因1996÷4=499，故只需证明可以找到一个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数就可以了。

　　得到500个余数r1，r2，…，r500。由于余数只能取0，1，2，…，499这499个值，所以根据抽屉原理，必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，这个差的前若干位是1，后若干位是0：11…100…0，又499和10是互质的，故它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数。

　　例3 在一个礼堂中有99名学生，如果他们中的每个人都与其中的66人相识，那么可能出现这种情况：他们中的任何4人中都一定有2人不相识(假定相识是互相的)。

　　分析：注意到题中的说法“可能出现……”，说明题的结论并非是条件的必然结果，而仅仅是一种可能性，因此只需要设法构造出一种情况使之出现题目中所说的结论即可。

　　解：将礼堂中的99人记为a1，a2，…，a99，将99人分为3组：

　　(a1，a2，…，a33)，(a34，a35，…，a66)，(a67，a68，…，a99)，将3组学生作为3个抽屉，分别记为A，B，C，并约定A中的学生所认识的66人只在B，C中，同时，B，C中的学生所认识的66人也只在A，C和A，B中。如果出现这种局面，那么题目中所说情况就可能出现。

　　因为礼堂中任意4人可看做4个苹果，放入A，B，C三个抽屉中，必有2人在同一抽屉，即必有2人来自同一组，那么他们认识的人只在另2组中，因此他们两人不相识。

　　例4 如右图，分别标有数字1，2，…，8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标数字都不相同。当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。

　　分析：此题中没有直接提供我们用以构造抽屉和苹果的数量关系，需要转换一下看问题的角度。

　　解：内外两环对转可看成一环静止，只有一个环转动。一个环转动一周后，每个滚珠都会有一次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次。将这8次局面看做苹果，再需构造出少于8个抽屉。

　　注意到一环每转动45°角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初的8对滚珠所标数字都不相同，所以数字相同的滚珠相对的情况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉，8次相同数字滚珠相对的局面看做8个苹果，则至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中，即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对。

　　例5 有一个生产天平上用的铁盘的车间，由于工艺上的原因，只能控制盘的重量在指定的20克到20.1克之间。现在需要重量相差不超过0.005克的两只铁盘来装配一架天平，问：最少要生产多少个盘子，才能保证一定能从中挑出符合要求的两只盘子?

　　解：把20～20.1克之间的盘子依重量分成20组：

　　第1组：从20.000克到20.005克;

　　第2组：从20.005克到20.010克;

　　……

　　第20组：从20.095克到20.100克。

　　这样，只要有21个盘子，就一定可以从中找到两个盘子属于同一组，这2个盘子就符合要求。

　　例6 在圆周上放着100个筹码，其中有41个红的和59个蓝的。那么总可以找到两个红筹码，在它们之间刚好放有19个筹码，为什么?

　　分析：此题需要研究“红筹码”的放置情况，因而涉及到“苹果”的具体放置方法，由此我们可以在构造抽屉时，使每个抽屉中的相邻“苹果”之间有19个筹码。

　　解：依顺时针方向将筹码依次编上号码：1，2，…，100。然后依照以下规律将100个筹码分为20组：

　　(1，21，41，61，81);

　　(2，22，42，62，82);

　　……

　　(20，40，60，80，100)。

　　将41个红筹码看做苹果，放入以上20个抽屉中，因为41=2×20+1，所以至少有一个抽屉中有2+1=3(个)苹果，也就是说必有一组5个筹码中有3个红色筹码，而每组的5个筹码在圆周上可看做两两等距，且每2个相邻筹码之间都有19个筹码，那么3个红色筹码中必有2个相邻(这将在下一个内容——第二抽屉原理中说明)，即有2个红色筹码之间有19个筹码。

　　下面我们来考虑另外一种情况：若把5个苹果放到6个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。这种情况一般可以表述为：

　　第二抽屉原理：把(mn-1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m-1)个物体。

　　例7 在例6中留有一个疑问，现改述如下：在圆周上放有5个筹码，其中有3个是同色的，那么这3个同色的筹码必有2个相邻。

　　分析：将这个问题加以转化：

　　如右图，将同色的3个筹码A，B，C置于圆周上，看是否能用另外2个筹码将其隔开。

　　解：如图，将同色的3个筹码放置在圆周上，将每2个筹码之间的间隔看做抽屉，将其余2个筹码看做苹果，将2个苹果放入3个抽屉中，则必有1个抽屉中没有苹果，即有2个同色筹码之间没有其它筹码，那么这2个筹码必相邻。

　　例8 甲、乙二人为一个正方形的12条棱涂红和绿2种颜色。首先，甲任选3条棱并把它们涂上红色;然后，乙任选另外3条棱并涂上绿色;接着甲将剩下的6条棱都涂上红色。问：甲是否一定能将某一面的4条棱全部涂上红色?

　　解：不能。

　　如右图将12条棱分成四组：

　　第一组：{A1B1，B2B3，A3A4}，

　　第二组：{A2B2，B3B4，A4A1}，

　　第三组：{A3B3，B4B1，A1A2}，

　　第四组：{A4B4，B1B2，A2A3}。

　　无论甲第一次将哪3条棱涂红，由抽屉原理知四组中必有一组的3条棱全未涂红，而乙只要将这组中的3条棱涂绿，甲就无法将某一面的4条棱全部涂红了。

　　下面我们讨论抽屉原理的一个变形——平均值原理。

　　我们知道n个数a1，a2，…，an的和与n的商是a1，a2，…，an这n个数的平均值。

　　平均值原理：如果n个数的平均值为a，那么其中至少有一个数不大于a，也至少有一个不小于a。

　　例9 圆周上有2000个点，在其上任意地标上0，1，2，…，1999(每一点只标一个数，不同的点标上不同的数)。求证：必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。

　　解：设圆周上各点的值依次是a1，a2，…，a2000，则其和

　　a1+a2+…+a2000=0+1+2+…+1999=1999000。

　　下面考虑一切相邻三数组之和：

　　(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+…+(a1998+a1999+a2000)+(a1999+a2000+a1)+(a2000+a1+a2)

　　=3(a1+a2+…+a2000)

　　=3×1999000。