奥数模块学习：组合竞赛原理及例题(2)

　　这2000组和中必至少有一组和大于或等于 　　但因每一个和都是整数，故有一组相邻三数之和不小于2999，亦即存在一个点，与它紧相邻的两点和这点上所标的三数之和不小于2999。

　　例10 一家旅馆有90个房间，住有100名旅客，如果每次都恰有90名旅客同时回来，那么至少要准备多少把钥匙分给这100名旅客，才能使得每次客人回来时，每个客人都能用自己分到的钥匙打开一个房门住进去，并且避免发生两人同时住进一个房间?

　　解：如果钥匙数小于990，那么90个房间中至少有一个房间的钥匙数少 房间就打不开，因此90个人就无法按题述的条件住下来。

　　另一方面，990把钥匙已经足够了，这只要将90把不同的钥匙分给90个人，而其余的10名旅客，每人各90把钥匙(每个房间一把)，那么任何90名旅客返回时，都能按要求住进房间。

　　最后，我们要指出，解决某些较复杂的问题时，往往要多次反复地运用抽屉原理，请看下面两道例题。

　　例11 设有4×28的方格棋盘，将每一格涂上红、蓝、黄三种颜色中的任意一种。试证明：无论怎样涂法，至少存在一个四角同色的长方形。

　　证明：我们先考察第一行中28个小方格涂色情况，用三种颜色涂28个小方格，由抽屉原理知，至少有10个小方格是同色的，不妨设其为红色，还可设这10个小方格就在第一行的前10列。

　　下面考察第二、三、四行中前面10个小方格可能出现的涂色情况。这有两种可能：

　　(1)这三行中，至少有一行，其前面10个小方格中，至少有2个小方格是涂有红色的，那么这2个小方格和第一行中与其对应的2个小方格，便是一个长方形的四个角，这个长方形就是一个四角同是红色的长方形。

　　(2)这三行中每一行前面的10格中，都至多有一个红色的小方格，不妨设它们分别出现在前三列中，那么其余的3×7个小方格便只能涂上黄、蓝两种颜色了。

　　我们先考虑这个3×7的长方形的第一行。根据抽屉原理，至少有4个小方格是涂上同一颜色的，不妨设其为蓝色，且在第1至4列。

　　再考虑第二行的前四列，这时也有两种可能：

　　(1)这4格中，至少有2格被涂上蓝色，那么这2个涂上蓝色的小方格和第一行中与其对应的2个小方格便是一个长方形的四个角，这个长方形四角同是蓝色。

　　(2)这4格中，至多有1格被涂上蓝色，那么，至少有3格被涂上黄色。不妨设这3个小方格就在第二行的前面3格。

　　下面继续考虑第三行前面3格的情况。用蓝、黄两色涂3个小方格，由抽屉原理知，至少有2个方格是同色的，无论是同为蓝色或是同为黄色，都可以得到一个四角同色的长方形。

　　总之，对于各种可能的情况，都能找到一个四角同色的长方形。

　　例12 试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一道题目的答案互不相同。问：参加考试的学生最多有多少人?

　　解：设每题的三个选择分别为a，b，c。

　　(1)若参加考试的学生有10人，则由第二抽屉原理知，第一题答案分别为a，b，c的三组学生中，必有一组不超过3人。去掉这组学生，在余下的学生中，定有7人对第一题的答案只有两种。对于这7人关于第二题应用第二抽屉原理知，其中必可选出5人，他们关于第二题的答案只有两种可能。对于这5人关于第三题应用第二抽屉原理知，可以选出4人，他们关于第三题的答案只有两种可能。最后，对于这4人关于第四题应用第二抽屉原理知，必可选出3人，他们关于第四题的答案也只有两种。于是，对于这3人来说，没有一道题目的答案是互不相同的，这不符合题目的要求。可见，所求的最多人数不超过9人。

　　另一方面，若9个人的答案如下表所示，则每3人都至少有一个问题的答案互不相同。

　　所以，所求的最多人数为9人。

　　练习13

　　1.六(1)班有49名学生。数学王老师了解到在期中考试中该班英文成绩除3人外均在86分以上后就说：“我可以断定，本班同学至少有4人成绩相同。”请问王老师说得对吗?为什么?

　　2.现有64只乒乓球，18个乒乓球盒，每个盒子里最多可以放6只乒乓球，至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同?

　　3.某校初二年级学生身高的厘米数都为整数，且都不大于160厘米，不小于150厘米。问：在至少多少个初二学生中一定能有4个人身高相同?

　　4.从1，2，…，100这100个数中任意选出51个数，证明在这51个数中，一定：

　　(1)有两个数的和为101;

　　(2)有一个数是另一个数的倍数;

　　(3)有一个数或若干个数的和是51的倍数。

　　5.在3×7的方格表中，有11个白格，证明

　　(1)若仅含一个白格的列只有3列，则在其余的4列中每列都恰有两个白格;

　　(2)只有一个白格的列只有3列。

　　6.某个委员会开了40次会议，每次会议有10人出席。已知任何两个委员不会同时开两次或更多的会议。问：这个委员会的人数能够多于60人吗?为什么?

　　7.一个车间有一条生产流水线，由5台机器组成，只有每台机器都开动时，这条流水线才能工作。总共有8个工人在这条流水线上工作。在每一个工作日内，这些工人中只有5名到场。为了保证生产，要对这8名工人进行培训，每人学一种机器的操作方法称为一轮。问：最少要进行多少轮培训，才能使任意5个工人上班而流水线总能工作?

　　8.有9名数学家，每人至多能讲3种语言，每3人中至少有2人能通话。求证：在这9名中至少有3名用同一种语言通话。

　　练习13

　　1.对。解：因为49-3=3×(100-86+1)+1，即46=3×15+1，也就是说，把从100分至86分的15个分数当做抽屉，49-3=46(人)的成绩当做物体，根据第二抽屉原理，至少有4人的分数在同一抽屉中，即成绩相同。

　　2.4个。解：18个乒乓球盒，每个盒子里至多可以放6只乒乓球。为使相同乒乓球个数的盒子尽可能少，可以这样放：先把盒子分成6份，每份有18÷6=3(只)，分别在每一份的3个盒子中放入1只、2只、3只、4只、5只、6只乒乓球，即3个盒子中放了1只乒乓球，3个盒中放了2只乒乓球……3个盒子中放了6只乒乓球。这样，18个盒子中共放了乒乓球

　　(1+2+3+4+5+6)×3=63(只)。

　　把以上6种不同的放法当做抽屉，这样剩下64-63=1(只)乒乓球不管放入哪一个抽屉里的任何一个盒子里(除已放满6只乒乓球的抽屉外)，都将使该盒子中的乒乓球数增加1只，这时与比该抽屉每盒乒乓数多1的抽屉中的3个盒子里的乒乓球数相等。例如剩下的1只乒乓球放进原来有2只乒乓球的一个盒子里，该盒乒乓球就成了3只，再加上原来装有3只乒乓球的3个盒子，这样就有4个盒子里装有3个乒乓球。所以至少有4个乒乓球盒里的乒乓球数目相同。

　　3.34个。

　　解：把初二学生的身高厘米数作为抽屉，共有抽屉

　　160-150+1=11(个)。

　　根据抽屉原理，要保证有4个人身高相同，至少要有初二学生

　　3×11+1=34(个)。

　　4.证：(1)将100个数分成50组：

　　{1，100｝，{2，99｝，…，{50，51｝。

　　在选出的51个数中，必有两数属于同一组，这一组的两数之和为101。

　　(2)将100个数分成10组：

　　{1,2,4,8,16,32,64｝, {3,6,12,24,48,96｝,

　　{5,10,20,40,80｝, {7,14,28,56｝,

　　{9,18,36,72｝, {11,22,44,88｝,

　　{13,26,52｝, {15,30,60｝,…,

　　{49,98｝, {其余数｝。

　　其中第10组中有41个数。在选出的51个数中，第10组的41个数全部选中，还有10个数从前9组中选，必有两数属于同一组，这一组中的任意两个数，一个是另一个的倍数。

　　(3)将选出的51个数排成一列：

　　a1，a2，a3，…，a51。

　　考虑下面的51个和：

　　a1，a1+a2，a1+a2+a3，…，

　　a1+a2+a3+…+a51。

　　若这51个和中有一个是51的倍数，则结论显然成立;若这51个和中没有一个是51的倍数，则将它们除以51，余数只能是1，2，…，50中的一个，故必然有两个的余数是相同的，这两个和的差是51的倍数，而这个差显然是这51个数(a1，a2， a3，…，a51)中的一个数或若干个数的和。

　　5.证：(1)在其余4列中如有一列含有3个白格，则剩下的5个白格要放入3列中，将3列表格看做3个抽屉，5个白格看做5个苹果，根据第二抽屉原理，5(=2×3-1)个苹果放入3个抽屉，则必有1个抽屉至多只有(2-1)个苹果，即必有1列只含1个白格，也就是说除了原来3列只含一个白格外还有1列含1个白格，这与题设只有1个白格的列只有3列矛盾。所以不会有1列有3个白格，当然也不能再有1列只有1个白格。推知其余4列每列恰好有2个白格。

　　(2)假设只含1个白格的列有2列，那么剩下的9个白格要放入5列中，而9=2×5-1，由第二抽屉原理知，必有1列至多只有2-1=1(个)白格，与假设只有2列每列只1个白格矛盾。所以只有1个白格的列至少有3列。

　　6.能。

　　解：开会的“人次”有 40×10=400(人次)。设委员人数为N，将“人次”看做苹果，以委员人数作为抽屉。

　　若N≤60，则由抽屉原理知至少有一个委员开了7次(或更多次)会。但由已知条件知没有一个人与这位委员同开过两次(或更多次)的会，故他所参加的每一次会的另外9个人是不相同的，从而至少有 7×9=63(个)委员，这与N≤60的假定矛盾。所以，N应大于60。

　　7.20轮。

　　解：如果培训的总轮数少于20，那么在每一台机器上可进行工作的工人 果这3个工人某一天都没有到车间来，那么这台机器就不能开动，整个流水线就不能工作。故培训的总轮数不能少于20。

　　另一方面，只要进行20轮培训就够了。对3名工人进行全能性培训，训练他们会开每一台机器;而对其余5名工人，每人只培训一轮，让他们每人能开动一台机器。这个方案实施后，不论哪5名工人上班，流水线总能工作。

　　8.证：以平面上9个点A1，A2，…，A9表示9个数学家，如果两人能通话，就把表示他们的两点联线，并涂上一种颜色(不同的语言涂上不同颜色)。此时有两种情况：

　　(1)9点中有任意2点都有联线，并涂了相应的颜色。于是从某一点A1出发，分别与A2，A3，…，A9联线，又据题意，每人至多能讲3种语言，因此A1A2，A1A3，…，A1A9中至多只能涂3种不同的颜色，由抽屉原理知，这8条线段中至少有2条同色的线段。不妨设A1A2与A1A3是同色线段，因此A1，A2，A3这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话。

　　(2)9点中至少有2点不联线，不妨设是A1与A2不联线。由于每3人中至少有两人能通话，因此从A1与A2出发至少有7条联线。再由抽屉原理知，其中必有4条联线从A1或A2 出发。不妨设从A1出发，又因A1至多能讲3种语言，所以这4条联线中，至少有2条联线是同色的。若A1A3与A1A4同色，则A1，A3，A4这3点表示的3名数学家可用同一种语言通话。

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