北京五年级数学花园探秘辅导：计数问题

　　北京奥数网：小编为大家整理了北京五年级数学花园探秘的计数问题辅导练习题，题目解析清楚详细，对数学花园探秘备考很有帮助。

　　计数问题：

　　1.计数问题之排列组合：区分好排列和组合的应用条件，组合常用的巧算公式必须要掌握好。掌握排列组合的几种解题方式：插板法、捆绑法、排除法等。
　　题目：某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种？

　　2.加乘原理：在做一件事时，有几类不同的方法，分类用加法；在做一件事时，要分几步才能完成，分步用乘法。
　　题目：玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色。这家玩具厂共可生产_______种颜色不同的玩具棒？

　　方法一：分三类：
　　（1）只有一种颜色的有3种；
　　（2）有两种颜色：第一步先从3中颜色中选取两种，有C23=3种，第二步，对于确定的两种颜色，如红色和蓝色的排法进行枚举：
　　1个红色：蓝蓝蓝红，蓝红蓝蓝
　　2个红色：红红蓝蓝，红蓝蓝红，红蓝红蓝，蓝红红蓝
　　3个红色：红红红蓝，红蓝红红
　　共8种，所以共：3×8=24种。
　　（3）有三种颜色：第一步选择一种颜色染两节，有3种选法；第二步，假设用红色染两节，这时染色方法为C24×A22÷2=6种。3×6=18种。
　　所以共有：3+24+18=45种。

　　方法二：总体—重复
　　每节有3种涂法，共有涂法3×3×3×3=81(种)。但上述81种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次。可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有3×3×1×1=9(种)。故玩具棒最多有(81-9)÷2+9=45种不同的颜色。

　　3.掌握两量重叠和三量重叠的计算公式，韦恩图可以帮助解决大问题。

　　【解析】

　　（法一）设共有n道题．由上图知d即为所求，并有关系式
　　由（1）（3）知，n是4和6的公倍数，即12的倍数。将（3）代入（2），有
　　由于b是非负整数，所以n=12，由此求出c=2，b=1，a=1.又由a+b+c+d=n，得到d=n-（a+b+c）=8
　　（法二）显然两人都答错的题目不多于3道，所以题目总数只可能是6、12、18，其中只有12，能使甲答错题目总数是整数.
　　【答案】8道题

　　4.几何计数：常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等。
　　分类：数线段、角、三角形、长方形。
　　掌握n条直线、n个圆（n个三角形、n个四边形）可将平面最多分成多少部分。
　　题目：该图中有_____个三角形？

　　【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛，第6题
　　【解析】由1个，2个，3个，4个，6个，8个小三角形组成的三角形分别有：8，7，4，3，1，1个，也即一共有8+7+4+3+1+1=24个。
　　【答案】24

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