小学奥数必须掌握的30个知识模块(5)

　　20.分数与百分数的应用

　　基本概念与性质：

　　分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。

　　分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。

　　分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。

　　百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。

　　常用方法：

　　①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。

　　②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。

　　③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。

　　④假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。

　　⑤量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。

　　⑥替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。

　　⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。

　　⑧浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。

　　21.分数大小的比较

　　基本方法：

　　①通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。

　　②通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。

　　③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。

　　④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。

　　⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。(具体运用见同倍率变化规律)

　　⑥转化比较方法：把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。

　　⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进行比较。

　　⑧大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比较。

　　⑨倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。

　　⑩基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。

　　22.分数拆分

　　一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：

　　①=+；

　　②=+(d为自然数)；

　　23.完全平方数

　　完全平方数特征：

　　1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

　　2.除以3余0或余1；反之不成立。

　　3.除以4余0或余1；反之不成立。

　　4.约数个数为奇数；反之成立。

　　5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。

　　6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。

　　7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。

　　平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

　　完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

　　完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2

　　24.比和比例

　　比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。

　　比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。

　　比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外)，比值不变。

　　比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

　　比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。

　　正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时)，则A与B成正比。

　　反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时)，则A与B成反比。

　　比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

　　按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

　　25.综合行程

　　基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

　　基本公式：路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

　　关键问题：确定运动过程中的位置和方向。

　　相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)

　　追及问题：追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)

　　流水问题：顺水行程=(船速+水速)×顺水时间

　　逆水行程=(船速-水速)×逆水时间

　　顺水速度=船速+水速

　　逆水速度=船速-水速

　　静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2

　　水速=(顺水速度-逆水速度)÷2

　　流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

　　过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

　　主要方法：画线段图法

　　基本题型：已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量，求第三个量。